Problems & Puzzles: Conjectures

Conjecture 81.  For all primes p, there is at least one k | that p^k = p&y&p?

Remember that Jeff Heleen sent the following solution for our Puzzle 933:

7499^9 = 74994632695013731827926060475067499

Then, I asked for more solutions as this one, in our Puzzle 934.

While solving the Puzzle 934 (that is a follow-up from Puzzle 933, and this is a follow-up from Puzzle 337), Paolo Lava wrote:

"It appears that any prime p has at least one exponent k>1 such that p^k starts and ends in p." (Paolo Lava)

As a matter of fact, Paolo computed and sent these first exponents k for the first 100 primes:

 n p(n) First k 1 2 21 2 3 41 3 5 24 4 7 33 5 11 171 6 13 361 7 17 461 8 19 471 9 23 1281 10 29 1091 11 31 231 12 37 221 13 41 236 14 43 61 15 47 861 16 53 2761 17 59 241 18 61 546 19 67 3261 20 71 1991 21 73 6081 22 79 421 23 83 9541 24 89 5731 25 97 4461 26 101 1621 27 103 21501 28 107 10381 29 109 5051 30 113 1301 31 127 16301 32 131 30051 33 137 18601 34 139 13601 35 149 3171 36 151 8991 37 157 7561 38 163 3201 39 167 33501 40 173 8701 41 179 17351 42 181 5601 43 191 13551 44 193 901 45 197 10301 46 199 871 47 211 65151 48 223 70201 49 227 7801 50 229 12151 51 233 ??? 52 239 37451 53 241 5951 54 251 609 55 257 8961 56 263 ??? 57 269 6051 58 271 14651 59 277 98801 60 281 16426 61 283 51501 62 293 1661 63 307 1245 64 311 49451 65 313 39501 66 317 55701 67 331 23251 68 337 30801 69 347 51601 70 349 8991 71 353 ??? 72 359 2651 73 367 ??? 74 373 ??? 75 379 24251 76 383 32201 77 389 29751 78 397 ??? 79 401 8906 80 409 ??? 81 419 13551 82 421 ??? 83 431 ??? 84 433 ??? 85 439 10551 86 443 7453 87 449 6011 88 457 ??? 89 461 ??? 90 463 ??? 91 467 ??? 92 479 ??? 93 487 25901 94 491 ??? 95 499 1475 96 503 ??? 97 509 ??? 98 521 ??? 99 523 ??? 100 541 ???

For instance, k value for n=51 p=233 is greater than 125861 and for n=56 p=263 is greater than 125289, if they exist.

Accordingly, the Paolo's conjecture can be reworded like this:

"For each prime p there is at least on exponent k such that p^k starts and ends in p"

Q1.Can you compute the absent k values in the table above?

Q2. Can you prove the conjecture or send a counterexample (or at least your smallest "hard cases")?

Q3. Is this conjecture valid for any positive integer, not necessarily prime numbers?

Some of the contributors for the Puzzle 934 -Fred Schneider, Paolo Lava and Simon Cavegn- observed that for many primes p the several exponents k that satisfies p^k = p&y&p for a given p, are not all at random but some of them follow modular expressions. See the pertinent data in Puzzle 934.

Q4. Can you explain this last feature?

Contributions came from Simon Cavegn, Fred Schneider, Paolo Lava, Robert Israel, Maximiliam F. Hasler and Emmanuel Vantighem.

***

Simon wrote on Dec 7, 2018:

The conjecture can probably be:
"For each prime p there are infinitely many exponent k such that p^k starts and ends in p"
For example I picked a prime p and looked at some k for it:
1: 1091^650501
2: 1091^2505001
3: 1091^4359501
4: 1091^6214001
5: 1091^8068501
...
796: 1091^1001156001
797: 1091^1001806501
798: 1091^1003661001
799: 1091^1005515501
800: 1091^1007370001
801: 1091^1009224501
802: 1091^1011079001
...

Q2: I cannot find a counterexample for prime p.

Q3: The first obvious non-prime counterexample is p = 10.
Here are all non-prime p < 100 (potential) counterexamples. They have no solution for k < 100000000
10,14,15,18,20,22,26,30,34,35,38,40,42,45,46,50,54,55,58,60,62,65,66,70,74,78,80,82,85,86,90,94,95,98

Q1: All k for all primes < 10000
Would be great if someone could double check the largest k: 6983^2867748501
(Because with larger k, rounding errors might appear in my fast algorithm.)

2    21
3    41
5    24
7    33
11    171
13    361
17    461
19    471
23    1281
29    1091
31    231
37    221
41    236
43    61
47    861
53    2761
59    241
61    546
67    3261
71    1991
73    6081
79    421
83    9541
89    5731
97    4461
101    1621
103    21501
107    10381
109    5051
113    1301
127    16301
131    30051
137    18601
139    13601
149    3171
151    8991
157    7561
163    3201
167    33501
173    8701
179    17351
181    5601
191    13551
193    901
197    10301
199    871
211    65151
223    70201
227    7801
229    12151
233    138801
239    37451
241    5951
251    609
257    8961
263    768301
269    6051
271    14651
277    98801
281    16426
283    51501
293    1661
307    1245
311    49451
313    39501
317    55701
331    23251
337    30801
347    51601
349    8991
353    108301
359    2651
367    109301
373    193701
379    24251
383    32201
389    29751
397    46301
401    8906
409    41201
419    13551
421    78701
431    62651
433    57801
439    10551
443    7453
449    6011
457    1766101
461    119701
463    56801
467    174201
479    53651
487    25901
491    33751
499    1475
503    91201
509    104351
521    282076
523    59401
541    438501
547    63101
557    4585
563    208501
569    57901
571    16351
577    89301
587    105001
593    38041
599    12981
601    5776
607    53001
613    101201
617    206901
619    27801
631    102201
641    32226
643    14981
647    18801
653    97901
659    79851
661    89351
673    185901
677    135901
683    88901
691    78551
701    23121
709    120701
719    56251
727    18901
733    52901
739    115451
743    10721
751    1955
757    32961
761    6501
769    1351
773    39001
787    55401
797    1699901
809    128201
811    110301
821    144251
823    121301
827    226901
829    270501
839    47051
853    582701
857    40661
859    292501
863    203801
877    245701
881    83001
883    45801
887    269701
907    15381
911    1108751
919    9351
929    496401
937    189701
941    104051
947    226301
953    91501
967    68001
971    120651
977    180201
983    65401
991    8151
997    175501
1009    36751
1013    1334001
1019    321501
1021    3302001
1031    1651751
1033    9798501
1039    472751
1049    79951
1051    44301
1061    4813501
1063    2901001
1069    2444501
1087    1381001
1091    650501
1093    260901
1097    14741501
1103    1049501
1109    2797501
1117    3742501
1123    39501
1129    635501
1151    4651
1153    4698501
1163    69001
1171    373501
1181    1220501
1187    974001
1193    7621
1201    115976
1213    2148001
1217    631501
1223    540501
1229    544501
1231    1373751
1237    1214501
1249    5179
1259    1010501
1277    1131501
1279    266501
1283    626501
1289    792751
1291    1288001
1297    833001
1301    288501
1303    962501
1307    40061
1319    396251
1321    789751
1327    352501
1361    54626
1367    1127501
1373    689001
1381    743501
1399    77351
1409    1457751
1423    449001
1427    3262001
1429    1101501
1433    426501
1439    485251
1447    9207501
1451    223701
1453    1457001
1459    1790501
1471    978501
1481    558501
1483    921001
1487    1714001
1489    669501
1493    197301
1499    73601
1511    121001
1523    1033001
1531    5179501
1543    373301
1549    38901
1553    1583501
1559    2480751
1567    1116001
1571    2162501
1579    5540001
1583    6340001
1597    1607001
1601    123426
1607    63001
1609    455001
1613    1821501
1619    952001
1621    1124501
1627    4844501
1637    9408501
1657    178601
1663    5522001
1667    279501
1669    2055501
1693    7685
1697    1889001
1699    341301
1709    2409501
1721    287501
1723    2289001
1733    139001
1741    320128001
1747    1867501
1753    188001
1759    765501
1777    3893501
1783    2289501
1787    4608501
1789    396501
1801    122151
1811    3200501
1823    75001
1831    999501
1847    2915001
1861    930501
1867    2151501
1871    1097751
1873    5115501
1877    23168501
1879    867251
1889    1375251
1901    816401
1907    94101
1913    29853001
1931    519001
1933    2411001
1949    255101
1951    328451
1973    1648501
1979    1646501
1987    2203501
1993    2829301
1997    1896501
1999    75051
2003    758501
2011    2692501
2017    8501
2027    1894001
2029    5999001
2039    484751
2053    2298501
2063    12305001
2069    1549001
2081    1597876
2083    2595501
2087    245001
2089    4272251
2099    852201
2111    1423501
2113    5467501
2129    472501
2131    2507501
2137    6921501
2141    60001
2143    347301
2153    6779501
2161    616251
2179    2126501
2203    34501
2207    1251601
2213    134501
2221    1318001
2237    2197501
2239    684001
2243    20501
2251    95981
2267    3996501
2269    1577001
2273    5493501
2281    2410501
2287    3518501
2293    9901
2297    1748501
2309    2741001
2311    914751
2333    1923501
2339    744501
2341    2688001
2347    95501
2351    166451
2357    354301
2371    6107001
2377    3324001
2381    1157501
2383    2741001
2389    2031001
2393    2287901
2399    1950551
2411    3620501
2417    1946501
2423    124501
2437    1682001
2441    3317751
2447    550501
2459    2623501
2467    1040501
2473    3989001
2477    459501
2503    4131501
2521    1613001
2531    2177001
2539    840501
2543    56301
2549    3475601
2551    289251
2557    92101
2579    4824501
2591    1384751
2593    468901
2609    1499751
2617    295501
2621    1599501
2633    1133358501
2647    3235001
2657    800401
2659    2309501
2663    2070501
2671    646251
2677    3944501
2683    2022001
2687    233501
2689    956751
2693    24541
2699    305101
2707    638601
2711    1445751
2713    363501
2719    195501
2729    848501
2731    2564501
2741    2462501
2749    158981
2753    402501
2767    1201001
2777    3225501
2789    723501
2791    489251
2797    4121501
2801    218376
2803    5914001
2819    2934501
2833    16494001
2837    195501
2843    121001
2851    1617101
2857    158201
2861    56001
2879    1147251
2887    427501
2897    1611501
2903    3576001
2909    975501
2917    904501
2927    2332501
2939    3382001
2953    455501
2957    653101
2963    436001
2969    608001
2971    2866001
2999    33141
3001    67521
3011    2124501
3019    2345001
3023    917501
3037    2558501
3041    616626
3049    139751
3061    1778001
3067    700501
3079    361251
3083    1567501
3089    332251
3109    1066501
3119    69041751
3121    337001
3137    981501
3163    3155501
3167    1200501
3169    826251
3181    2780001
3187    2743001
3191    970001
3203    7310501
3209    680251
3217    36290001
3221    3773501
3229    580501
3251    21221
3253    1644001
3257    2169101
3259    3651001
3271    2426001
3299    391301
3301    640101
3307    16261
3313    989001
3319    620501
3323    4556501
3329    422251
3331    1293001
3343    354901
3347    2586501
3359    654751
3361    1742751
3371    3270501
3373    2509001
3389    23935001
3391    1969251
3407    1609101
3413    2109501
3433    5254501
3449    1865351
3457    338301
3461    3251501
3463    3983501
3467    56414501
3469    4302501
3491    3968001
3499    612941
3511    3258251
3517    5685501
3527    2491001
3529    1349251
3533    4302501
3539    4123501
3541    67501
3547    9516501
3557    203901
3559    1995501
3571    3704501
3581    1620001
3583    12062001
3593    884701
3607    391401
3613    257501
3617    318501
3623    8436501
3631    4228751
3637    1287501
3643    74701
3659    3038001
3671    832501
3673    4276501
3677    2158501
3691    1683501
3697    910001
3701    865601
3709    2030501
3719    4805501
3727    8365501
3733    3069501
3739    19418501
3761    300001
3767    8904501
3769    6115751
3779    1354501
3793    2605301
3797    2411501
3803    4385501
3821    570501
3823    3490001
3833    1075501
3847    8196501
3851    129901
3853    3229001
3863    4197001
3877    4703501
3881    1645751
3889    1283501
3907    544101
3911    2651001
3917    280001
3919    1803001
3923    104576501
3929    852751
3931    3367501
3943    12701
3947    3335501
3967    813501
3989    9035501
4001    87156
4003    2012501
4007    1292501
4013    4385501
4019    491501
4021    3379501
4027    2313501
4049    219251
4051    827401
4057    170141
4073    2068001
4079    1201001
4091    5254501
4093    2352401
4099    1913801
4111    4007751
4127    5709501
4129    1482751
4133    1955501
4139    4198001
4153    8316501
4157    736901
4159    10063501
4177    4578501
4201    1007851
4211    13700501
4217    2777001
4219    24293001
4229    38551001
4231    743751
4241    269876
4243    83801
4253    1613501
4259    2945001
4261    8561501
4271    921501
4273    6810001
4283    1103501
4289    1449251
4297    12059001
4327    10385501
4337    2552501
4339    3758501
4349    1242401
4357    9803801
4363    14391001
4373    8858501
4391    2851251
4397    2246501
4409    455751
4421    621501
4423    9259501
4441    1228751
4447    6122501
4451    721601
4457    1184501
4463    5995501
4481    556751
4483    8976001
4493    116701
4507    1335801
4513    7601001
4517    7454501
4519    803001
4523    2448501
4547    52678501
4549    13530301
4561    588876
4567    197087501
4583    5428501
4591    35617501
4597    4206501
4603    3282501
4621    5844001
4637    881501
4639    1165251
4643    881201
4649    634551
4651    95668901
4657    982701
4663    21579001
4673    4977501
4679    4609751
4691    3701501
4703    14699501
4721    1161751
4723    4079001
4729    4621001
4733    2743501
4751    156581
4759    1615751
4783    1181501
4787    4178001
4789    2009501
4793    686501
4799    43451
4801    225276
4813    10352001
4817    736501
4831    27001
4861    2697001
4871    2956501
4877    5008001
4889    2415501
4903    4336501
4909    4736001
4919    1989001
4931    3954001
4933    4501
4937    169501
4943    21301
4951    429051
4957    13377101
4967    8613001
4969    1602251
4973    4653501
4987    3355501
4993    1422701
4999    32055
5003    288501
5009    727001
5011    5860001
5021    1513501
5023    6884501
5039    1322751
5051    1324701
5059    31215501
5077    6086501
5081    3602001
5087    3476001
5099    9657701
5101    8078301
5107    700601
5113    3579501
5119    101187251
5147    1361501
5153    1895501
5167    130001
5171    7328501
5179    4371501
5189    29765501
5197    11824501
5209    2151501
5227    400001
5231    23377001
5233    1871501
5237    1810501
5261    6156501
5273    94787501
5279    4715751
5281    3084126
5297    367001
5303    2716501
5309    129387501
5323    14239501
5333    5894501
5347    3775501
5351    723301
5381    18977001
5387    48843501
5393    1344501
5399    955551
5407    685301
5413    3913001
5417    11714001
5419    6172001
5431    1216751
5437    1859001
5441    1820876
5443    43993
5449    413501
5471    2773001
5477    368501
5479    19251
5483    3973501
5501    282581
5503    7594501
5507    896101
5519    9491001
5521    2028501
5527    8376501
5531    8309501
5557    72681
5563    4696501
5569    3770501
5573    12252501
5581    6754001
5591    1629751
5623    9963501
5639    1527751
5641    2276751
5647    230501
5651    81401
5653    36962501
5657    612101
5659    424501
5669    3910501
5683    4198001
5689    2400251
5693    521421
5701    2896301
5711    487251
5717    92480501
5737    2181501
5741    4135501
5743    1032301
5749    545021
5779    7868001
5783    5294001
5791    21020751
5801    139601
5807    16773
5813    619501
5821    2707501
5827    1937001
5839    3371001
5843    552301
5849    85151
5851    28723401
5857    1819101
5861    3854501
5867    2449001
5869    51665501
5879    1885751
5881    4483251
5897    133337501
5903    1951001
5923    4421001
5927    1202501
5939    3718501
5953    6198001
5981    5855501
5987    5789501
6007    10123901
6011    3698001
6029    53001
6037    38015001
6043    1493701
6047    7962501
6053    10127501
6067    7114001
6073    5394501
6079    1715751
6089    1925001
6091    2188501
6101    839101
6113    15185001
6121    12328251
6131    4726001
6133    5054501
6143    392101
6151    80151
6163    15883001
6173    5170501
6197    4799001
6199    215151
6203    103022501
6211    4590501
6217    9073501
6221    3526501
6229    23359501
6247    13294001
6257    866301
6263    4855501
6269    7860501
6271    4710501
6277    57489501
6287    4855001
6299    1088701
6301    128701
6311    3860251
6317    2229501
6323    33735501
6329    3972001
6337    10946501
6343    1238501
6353    6290001
6359    1955251
6361    600501
6367    2747501
6373    16044501
6379    624501
6389    2283501
6397    7949501
6421    4120001
6427    3614501
6449    855951
6451    2075301
6469    7596001
6473    12092001
6481    2040626
6491    6068501
6521    1920751
6529    119585751
6547    4109501
6551    330951
6553    1429001
6563    47561501
6569    6265751
6571    5180001
6577    6285501
6581    4926501
6599    65151
6607    232201
6619    262501
6637    36938001
6653    7732501
6659    12257501
6661    2136501
6673    4409501
6679    1872251
6689    1555251
6691    28901501
6701    2632901
6703    5066501
6709    4732501
6719    3113501
6733    963501
6737    5866501
6761    4709251
6763    8831501
6779    2985501
6781    1103001
6791    1343001
6793    2223501
6803    3185001
6823    1380501
6827    5815501
6829    1184501
6833    6908501
6841    5176001
6857    800601
6863    4482501
6869    1056501
6871    1554001
6883    13504001
6899    978701
6907    16073601
6911    1265501
6917    2104001
6947    8589001
6949    2211401
6959    2434001
6961    2550126
6967    58480001
6971    61001
6977    8672501
6983    2867748501
6991    4735751
6997    6598501
7001    26551
7013    3972501
7019    7735001
7027    106501
7039    1903751
7043    7156901
7057    127693
7069    5450001
7079    1904751
7103    507001
7109    2971501
7121    971376
7127    1013501
7129    4621751
7151    509301
7159    4751501
7177    3207501
7187    11995001
7193    63821
7207    387001
7211    222001
7213    22090501
7219    9005501
7229    9869001
7237    17935001
7243    1177701
7247    7753001
7253    7354001
7283    8404501
7297    2206501
7307    73441
7309    9680501
7321    559251
7331    14480501
7333    2730001
7349    1287201
7351    393451
7369    5124751
7393    38108401
7411    4343001
7417    4494501
7433    1611501
7451    2495301
7457    1266701
7459    25035001
7477    9687501
7481    86751
7487    10379001
7489    5371251
7499    9
7507    903701
7517    243433001
7523    89501
7529    6593001
7537    3637001
7541    11990001
7547    8557501
7549    227901
7559    4193001
7561    14167751
7573    28394501
7577    6451001
7583    5492501
7589    19181501
7591    2652251
7603    77517501
7607    772201
7621    12038501
7639    2670501
7643    5685601
7649    596451
7669    9245501
7673    4755501
7681    2759626
7687    6848501
7691    12915501
7699    1652701
7703    8224001
7717    11218501
7723    2785501
7727    9805501
7741    1705001
7753    15761501
7757    829501
7759    1521251
7789    3498001
7793    1911801
7817    1072001
7823    6475501
7829    10813501
7841    1555376
7853    18035001
7867    8284001
7873    6880501
7877    8208501
7879    2296751
7883    3003501
7901    1268801
7907    48812501
7919    5168251
7927    3945501
7933    1367001
7937    69428501
7949    10342501
7951    7089451
7963    9274501
7993    999701
8009    1690751
8011    9477501
8017    841501
8039    5077251
8053    3120501
8059    13099501
8069    6431501
8081    4273751
8087    6920501
8089    3470751
8093    7038501
8101    1668301
8111    3309751
8117    6488501
8123    7184001
8147    40942501
8161    6776501
8167    3373001
8171    10214001
8179    1441001
8191    4175251
8209    8556251
8219    7797501
8221    96540501
8231    350751
8233    4818001
8237    2334001
8243    1495901
8263    9767501
8269    58501
8273    1418501
8287    2179501
8291    9645501
8293    2060801
8297    14402501
8311    16985001
8317    8138501
8329    6871751
8353    10284501
8363    1240001
8369    2849751
8377    8241501
8387    12825501
8389    6739001
8419    7909501
8423    8456501
8429    692019001
8431    1652215251
8443    96541
8447    7517501
8461    10159001
8467    159001
8501    507941
8513    2202501
8521    25729501
8527    15841501
8537    53603001
8539    3949501
8543    130550901
8563    57003501
8573    8699501
8581    8660501
8597    1692001
8599    5374051
8609    4297751
8623    114102501
8627    94720501
8629    12623001
8641    2434376
8647    16422501
8663    2023001
8669    7968501
8677    1511011501
8681    8286001
8689    4080751
8693    5541
8699    4158901
8707    6291101
8713    27052001
8719    1519251
8731    12221001
8737    10309501
8741    10962001
8747    6445501
8753    52807501
8761    3525501
8779    459501
8783    200822001
8803    4680501
8807    252321
8819    18451501
8821    1781501
8831    151751
8837    3172001
8839    75943751
8849    1185201
8861    17971501
8863    25090001
8867    519501
8887    8228501
8893    1343901
8923    2088501
8929    5809501
8933    4126001
8941    10866501
8951    2178401
8963    7397501
8969    2583251
8971    1517501
8999    504501
9001    401911
9007    762201
9011    57074501
9013    1343501
9029    16831001
9041    3471626
9043    1825101
9049    918101
9059    20103501
9067    8369001
9091    10671001
9103    11011001
9109    9301001
9127    12903501
9133    10618501
9137    19366001
9151    1171901
9157    3189001
9161    9892001
9173    25299501
9181    9912501
9187    6300501
9199    759501
9203    3443001
9209    1270751
9221    227501
9227    4610001
9239    4750251
9241    1738251
9257    906301
9277    6206501
9281    1157376
9283    5695501
9293    1787901
9311    1769501
9319    4845501
9323    14681001
9337    17679501
9341    2323501
9343    2395401
9349    2021801
9371    4153001
9377    5429001
9391    12429751
9397    19446501
9403    144501
9413    1908501
9419    9798001
9421    11731501
9431    20770251
9433    1208001
9437    10455001
9439    8157251
9461    683001
9463    17441001
9467    11545501
9473    17592501
9479    539001
9491    4510001
9497    120410001
9511    1010251
9521    9036501
9533    6474501
9539    9916501
9547    29960001
9551    491351
9587    14123501
9601    974976
9613    15401501
9619    9632501
9623    7338501
9629    7356501
9631    5937001
9643    1796701
9649    4498801
9661    158501
9677    27001
9679    908501
9689    7863251
9697    9998501
9719    1709751
9721    2778001
9733    9346501
9739    713501
9743    2785901
9749    227901
9767    11821001
9769    35469251
9781    8733001
9787    546501
9791    15386001
9803    10427501
9811    25742501
9817    10703001
9829    11542501
9833    147133001
9839    1978001
9851    1542101
9857    3766601
9859    31603501
9871    2213751
9883    10692001
9887    7159001
9901    2307601
9907    757301
9923    125334501
9929    1764751
9931    3063501
9941    16735501
9949    3696801
9967    75114501
9973    21015501

***

Fred wrote, Dec 10, 18:

Q1:

Here are the minimum solutions.  I determined the length of the cycle and plugged that into the code from pp934.  Note: The third number is each tuple below is the cycle length.

(233,227301,100)
(263,926501,100)
(353,108301,100)
(367,109301,100)
(373,193701,100)
(397,46301,100)
(409,41201,50)
(421,78701,50)
(431,62651,50)
(433,57801,100)
(457,1766101,20)
(461,119701,50)
(463,56801,100)
(467,174201,100)
(479,53651,50)
(491,33751,50)
(503,91201,100)
(509,104351,50)
(521,282076,25)
(523,59401,100)
(541,438501,50)

Q2 - Q4:

We know what can be solved due to Euler's Theorem ( https://brilliant.org/wiki/eulers-theorem/)  Note: all of the solutions above have a cycle which is a divisor of 400 (the totient of 1000).

By Euler's theorem any prime number p (that is relatively prime to 10) would have a cycle that is a divisor of of the totient of t where t is the minimum power of 10 > p (For instance, t would 1000 for p = 541).  The cycle we want is the minimum such divisor that holds.

So, all prime numbers except for 2 and 5 have this property due to Euler's theorem.   But, we know though from puzzle 933 that 2 and 5 do have cyclical behavior (for 10).  So, all primes have a "trailing digit" solution.

Similarly, any number n that is relatively prime to 10 would have such a cycle.

For instance, the cycle for 27 (and 100) is 20

and 27^21 = 1144561273430837494885949696427

Examples  of "cycle-free" numbers n (that are not relatively prime to a power of 10) such there is no solution n^x where x > 1 are 14, 15 and 22.

So, we can't say there are always "trailing cycles" for all numbers that are not relatively prime to a power of 10.

***

Paolo wrote, dec 11, 18:

Please find here below the updated list of the least exponents.
As you can see, four of them are very hard to detect. I optimized as much as possible my Maple code but they are beyond my machine limits.
In particular I can add that exponent for 263 is > 215701, for 457 is > 194261, for 521 is > 190776 and for 541 is > 190801.

51   233   138801

52   239   37451

53   241   5951

54   251   609

55   257   8961

56   263    ?

57   269   6051

58   271   14651

59   277   98801

60   281   16426

61   283   51501

62   293   1661

63   307   1245

64   311   49451

65   313   39501

66   317   55701

67   331   23251

68   337   30801

69   347   51601

70   349   8991

71   353   108301

72   359   2651

73   367   109301

74   373   193701

75   379   24251

76   383   32201

77   389   29751

78   397   46301

79   401   8906

80   409   41201

81   419   13551

82   421   78701

83   431   62651

84   433   57801

85   439   10551

86   443   7453

87   449   6011

88   457    ?

89   461   119701

90   463   56801

91   467   174201

92   479   53651

93   487   25901

94   491   33751

95   499   1475

96   503   91201

97   509   104351

98   521    ?

99   523   59401

100   541   ?

Q3. Is this conjecture valid for any positive integer, not necessarily prime numbers?

Not at all. Apart from any power of 10^k that will never end in 10^k, see for instance A075823. It lists the two digits numbers that will never end in themselves.

With 3 digits we have 102, 105, 106, 108, 110, 114, ...
I checked all three digits numbers that will never end in themselves whatever is the exponent k>1. They are 446 and none of them is a prime:

100, 102, 105, 106, 108, 110, 114, 115, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 130, 132, 134, 135, 138, 140, 142, 145, 146, 148, 150, 154, 155, 156, 158, 160, 162, 164, 165, 166, 170, 172, 174, 175, 178, 180, 182, 185, 186, 188, 190, 194, 195, 196, 198, 200, 202, 204, 205, 206, 210, 212, 214, 215, 218, 220, 222, 225, 226, 228, 230, 234, 235, 236, 238, 240, 242, 244, 245, 246, 250, 252, 254, 255, 258, 260, 262, 265, 266, 268, 270, 274, 275, 276, 278, 280, 282, 284, 285, 286, 290, 292, 294, 295, 298, 300, 302, 305, 306, 308, 310, 314, 315, 316, 318, 320, 322, 324, 325, 326, 330, 332, 334, 335, 338, 340, 342, 345, 346, 348, 350, 354, 355, 356, 358, 360, 362, 364, 365, 366, 370, 372, 374, 378, 380, 382, 385, 386, 388, 390, 394, 395, 396, 398, 400, 402, 404, 405, 406, 410, 412, 414, 415, 418, 420, 422, 425, 426, 428, 430, 434, 435, 436, 438, 440, 442, 444, 445, 446, 450, 452, 454, 455, 458, 460, 462, 465, 466, 468, 470, 474, 475, 476, 478, 480, 482, 484, 485, 486, 490, 492, 494, 495, 498, 500, 502, 505, 506, 508, 510, 514, 515, 516, 518, 520, 522, 524, 525, 526, 530, 532, 534, 535, 538, 540, 542, 545, 546, 548, 550, 554, 555, 556, 558, 560, 562, 564, 565, 566, 570, 572, 574, 575, 578, 580, 582, 585, 586, 588, 590, 594, 595, 596, 598, 600, 602, 604, 605, 606, 610, 612, 614, 615, 618, 620, 622, 626, 628, 630, 634, 635, 636, 638, 640, 642, 644, 645, 646, 650, 652, 654, 655, 658, 660, 662, 665, 666, 668, 670, 674, 675, 676, 678, 680, 682, 684, 685, 686, 690, 692, 694, 695, 698, 700, 702, 705, 706, 708, 710, 714, 715, 716, 718, 720, 722, 724, 725, 726, 730, 732, 734, 735, 738, 740, 742, 745, 746, 748, 750, 754, 755, 756, 758, 760, 762, 764, 765, 766, 770, 772, 774, 775, 778, 780, 782, 785, 786, 788, 790, 794, 795, 796, 798, 800, 802, 804, 805, 806, 810, 812, 814, 815, 818, 820, 822, 825, 826, 828, 830, 834, 835, 836, 838, 840, 842, 844, 845, 846, 850, 852, 854, 855, 858, 860, 862, 865, 866, 868, 870, 874, 876, 878, 880, 882, 884, 885, 886, 890, 892, 894, 895, 898, 900, 902, 905, 906, 908, 910, 914, 915, 916, 918, 920, 922, 924, 925, 926, 930, 932, 934, 935, 938, 940, 942, 945, 946, 948, 950, 954, 955, 956, 958, 960, 962, 964, 965, 966, 970, 972, 974, 975, 978, 980, 982, 985, 986, 988, 990, 994, 995, 996, 998.

I'll go on with 4 digits.
Checked. They are 4943 (I do not write them down here ...). Again no prime. It appears they are even numbers or odd ones ending in 5. Of course this not imply the correctness of the conjecture for primes...

This is the Maple code:

with(numtheory): P:=proc(q) local a,b,c,d,k,n; c:=[];
for n from 1 to q do a:=[n]; d:=ilog10(n)+1;
for k from 2 to q do b:=n^k mod 10^d;
if numboccur(b,a)=0 then a:=[op(a),b]; else break; fi; od;
if b<>n then c:=[op(c),n]; fi; od; print(c); nops(c); end: P(10^4);

***

Robert wrote, dec 12, 18:

Yes, such k does always exist.

Let p be an integer > 2 coprime to 10 (thus not just primes), and m its length in base 10.  Let r be the multiplicative order of p mod 10^m.  Then p^k ends in p if and only if k-1 is a multiple of r.  p^(j*r+1) starts with p if and only if for some integer s, s + log_10(p)) <= (j*r+1)*log_10(p) < s + frac(log_10(p+1)).  This is true for some j because r*log_10(p) is irrational and the fractional parts of the multiples of an irrational number are dense in [0,1].

BTW, here are some of the missing data in your table:
51 138801
56 768301
71 108301

***

Maximilam wrote on Dec 13, 2018:

this little PARI script :

finds more or less quickly all the ??? in the table, except for n=88 where it took longer to find the very large exponent.

50    229    12151
51    233   ??? = 138801
52    239    37451
53    241    5951
54    251    609
55    257    8961
56    263   ???
57    269    6051
58    271    14651
59    277    98801
60    281    16426
61    283    51501
62    293    1661
63    307    1245
64    311    49451
65    313    39501
66    317    55701
67    331    23251
68    337    30801
69    347    51601
70    349    8991
71    353   ??? = 108301
72    359    2651
73    367   ??? = 109301
74    373   ??? = 193701
75    379    24251
76    383    32201
77    389    29751
78    397    ??? = 46301
79    401    8906
80    409    ??? = 41201
81    419    13551
82    421    ??? = 78701
83    431    ??? = 62651
84    433    ??? = 57801
85    439    10551
86    443    7453
87    449    6011
88    457    ??? = 1766101
89    461    ??? = 119701
90    463    ??? = 56801
91    467    ??? = 174201
92    479    ??? = 53651
93    487    25901
94    491    ??? = 33751
95    499    1475
96    503    ??? = 91201
97    509    ??? = 104351
98    521    ??? = 282076
99    523    ??? = 59401
100  541 ??? = 438501

(Comment : there seem to be only very few cases where a(n) != 1 (mod 10):
a(3,4,13,18,86,98), and even = 01 (mod 100) seems to be the most frequent.
A solution not ending in 1 can only happen for primes whose multiplicative order mod 10^length(p) is not a multiple of 10. But why is this so rare?)

List of the ??? only:
78 | 397 | 46301
80 | 409 | 41201
82 | 421 | 78701
83 | 431 | 62651
84 | 433 | 57801
88 | 457 |  1766101
89 | 461 | 119701
90 | 463 | 56801
91 | 467 | 174201
92 | 479 | 53651
94 | 491 | 33751
96 | 503 | 91201
97 | 509 | 104351
98 | 521 | 282076
99 | 523 | 59401
100 | 541 | 438501
(the last one took nearly 12 minutes)

***

Emmanuel wrote on Dec 14, 2018:

Q1. Here are the missing ones :

n           p(n)      First k
51    233   138801
56    263   768301
71    353   108301
73    367   109301
74    373   193701
78    397    46301
80    409    41201
82    421    78701
83    431    62651
84    433    57801
88    457    1766101
89    461    119701
90    463    56801
91    467    174201
92    479    53651
94    491    33751
96    503    91201
97    509    104351
98    521    282076
99    523    59401
100    541   438501

Q3. There are many numbers  m  for which no power (except the first) ends with  m.
Here are the first ones : 10, 14, 15, 18, 20, 22, 26, 30, 34, 35, 38, 40, 42, 45, 46, 50, 54, 55, 58, 60, 62, 65, 66, 70, 74, 78, 80, 82, 85, 86, 90, 94, 95, 98,
100, 102, 105, 106, 108, 110, 114, 115, 116, 118, 120, 122, 124, 126, ...(the finite sequence  http://oeis.org/A075823  at the OEIS is only a part of this)

But, in my opinion, the conjecture is true for all  m  that are coprime to 10.
For such numbers  m  there are infinitely many powers  k  such that  m^k  end in  m :
those  k  are all congruent  1 modulo  r, where  r  is the multiplicative order of  m  modulo  10^u, where  u  is the number of digits of  m.
For such  k  the first  u  digits of  m^k  behave like random.  Thus, the conjecture is somewhat equivalent to Murphy's law (everything that can happen will happen sometimes).

***

Simon Cavegn wrote on Dec 18, 2018:

Fast algorithm in C# for Conjecture 81:

private void TestStartsEnds(ulong p)
{
int numberOfDigits = p.ToString().Length;
uint lastMod = (uint)Math.Pow(10, numberOfDigits);
uint firstDiv = (uint)Math.Pow(10, numberOfDigits - 1);
ulong last = p;
double first = p;
string pStr = p.ToString();
string uintFormat = new string('0', numberOfDigits);
for (ulong k = 2; ; k++)
{
last = last * p % lastMod;
first = first * p / firstDiv;
if (first >= lastMod) first = first / 10;
if (string.Equals(pStr, ((uint)first).ToString(uintFormat)) && string.Equals(pStr, last.ToString(uintFormat)))
{
Console.WriteLine("{0}^{1}", p, k);
}
}
}

***

 Records   |  Conjectures  |  Problems  |  Puzzles