Problems & Puzzles: Puzzles

Puzzle 787. Fibonacci as sum of two consecutive primes. Abhiram R. Devesh sent the following nice puzzle. "Find Fibonacci numbers as sum of two consecutive prime numbers." Abhiram sent the first four examples to OEIS as A258044 a(1) =   5 =  2 + 3 = fib(5) a(2) =   8 =  3 + 5 = fib(6) a(3) = 144 = 71 + 73 = fib(12) a(4) = 1548008755920 = 774004377953 + 774004377967 = fib(60) Carlos Rivera, found the fifth example: a(5) =  24617570215823242721662481553130368936971399966974615095762 33211000055607912198979704988704446425834042795269603588522 245550271050495783935904220352228801000 = fib(750) = 1230878510791162136083124077656518446848569998348730754788116605500027803956099 489852494352223212917021397634801794261122775135525247891967952110176114400437 +  1230878510791162136083124077656518446848569998348730754788116605500027803956099 489852494352223212917021397634801794261122775135525247891967952110176114400563 Q. Find more terms

---

Jan van Delden wrote on May 25, 2015

The next solution a(6)=fib(8505). The primes are fib(8505)/2 +/- 4074. Both are certified prime (primo) and have 1777 digits.
I checked n<=11000, n mod 3=0.

 

The values n, belonging to a(n), have the following property:

a(2),a(3): 3-smooth
a(5),a(5): 5-smooth

a(6): 7-smooth
Any reason why?

 

Jan van Delden

 

Just as a check for a(6):
 

fib(8505)/2-4074 =

 

6156945768 1275389660 9258564063 6067281596 3417068830

2410127014 5431439163 5333787366 9386003187 0567384348

0346180845 3223249514 3620707843 5045295340 9056923160

0503479784 2691172422 8974671689 1633979973 9580373018

2941395357 1860108492 1331565402 4853820661 3766420132

6526674751 2046873193 2203861813 2958648512 5621597416

0220925003 0045267097 9170239958 8073657362 4985836610

2861679356 2362752590 5620860057 3714791225 8733641591

3154683156 2713268713 6472002638 0809588808 1163330796

2779810163 7421365031 3109790871 8401569841 1923171946

6478009417 8711321890 1787183317 6353319353 6963274498

3971334110 7068571302 5821309238 3492594135 3928373192

3664034769 3142029514 0330765184 3153603659 6795734381

0630300765 0984631475 4218120775 9522470488 6397858729

9415186294 8780760441 9688105476 8992021710 5635358924

7916856267 0638374570 2304728316 3735886750 4297755983

7282115944 9515830480 3298848334 1134658319 6946010126

8140124746 7948154466 7727866088 0735727085 2386263950

4964216002 6737812740 1201768695 6886463021 2529577617

3156441822 8112319979 2377832774 6117481600 9488977088

9303467081 6301640265 4736605420 6386765822 0294342265

9846940316 8366393688 6556377501 1778911844 9922008026

5275625615 3564079624 3426952243 9893851083 3874202581

0871929699 0373404685 4903375448 1426592887 4950396141

4633364924 0578753827 2005326631 1399921627 0371640130

8847240908 5981109624 2060903400 3887884305 3901887221

8353989454 3294785299 7239963223 8759725204 9662495652

8030392447 5733844594 8373879106 3512697345 4448166265

8829475786 8348186587 7171663668 7959335901 0081334938

9089077813 9759066659 0509940360 4260980464 5052284440

6925264704 8273926234 7130988885 4845070904 6782252014

3259428792 7902779072 4392437329 9621778939 6482280252

2660301721 7973434990 1114275262 7778222487 7284710237

9131497042 9128742882 9473928192 2042368669 2818273856

3510691252 5448454313 9288212430 5173998677 0774054640

8706790403 6009007468 8757991

 

fib(8505)/2+4074 =

 

6156945768 1275389660 9258564063 6067281596 3417068830

2410127014 5431439163 5333787366 9386003187 0567384348

0346180845 3223249514 3620707843 5045295340 9056923160

0503479784 2691172422 8974671689 1633979973 9580373018

2941395357 1860108492 1331565402 4853820661 3766420132

6526674751 2046873193 2203861813 2958648512 5621597416

0220925003 0045267097 9170239958 8073657362 4985836610

2861679356 2362752590 5620860057 3714791225 8733641591

3154683156 2713268713 6472002638 0809588808 1163330796

2779810163 7421365031 3109790871 8401569841 1923171946

6478009417 8711321890 1787183317 6353319353 6963274498

3971334110 7068571302 5821309238 3492594135 3928373192

3664034769 3142029514 0330765184 3153603659 6795734381

0630300765 0984631475 4218120775 9522470488 6397858729

9415186294 8780760441 9688105476 8992021710 5635358924

7916856267 0638374570 2304728316 3735886750 4297755983

7282115944 9515830480 3298848334 1134658319 6946010126

8140124746 7948154466 7727866088 0735727085 2386263950

4964216002 6737812740 1201768695 6886463021 2529577617

3156441822 8112319979 2377832774 6117481600 9488977088

9303467081 6301640265 4736605420 6386765822 0294342265

9846940316 8366393688 6556377501 1778911844 9922008026

5275625615 3564079624 3426952243 9893851083 3874202581

0871929699 0373404685 4903375448 1426592887 4950396141

4633364924 0578753827 2005326631 1399921627 0371640130

8847240908 5981109624 2060903400 3887884305 3901887221

8353989454 3294785299 7239963223 8759725204 9662495652

8030392447 5733844594 8373879106 3512697345 4448166265

8829475786 8348186587 7171663668 7959335901 0081334938

9089077813 9759066659 0509940360 4260980464 5052284440

6925264704 8273926234 7130988885 4845070904 6782252014

3259428792 7902779072 4392437329 9621778939 6482280252

2660301721 7973434990 1114275262 7778222487 7284710237

9131497042 9128742882 9473928192 2042368669 2818273856

3510691252 5448454313 9288212430 5173998677 0774054640

8706790403 6009007468 8766139

***