Problems & Puzzles: Puzzles

Puzzle 783. A sequence of composite integers Here you are asked to get the largest sequence as defined below: Starting with the integer 9, append any of the four integers, 1, 3, 7 or 9, such that all the integers of the sequence are not primes neither are divided by 3. The "seed" 9 is out of the sequence. Example: 9: 91, 913, 9131, 91313, 913133, 9131339, 91313393, 913133933, ... Q1. Send your largest sequence using this seed or another seed you like to choose. Q2. Is there some way to guarantee a sequence with infinite terms?

---

Contributions came from Giovanni Resta, Claudio Meller, Fred Schneider, Abhiram R Devesh and Luis Rodríguez

***

Resta wrote:

Here is an infinite sequence.

Start with the number 9139199339939339.
It is easy to verify that all the prefixes are composites
(their smallest factors are, in sequence,
{3, 7, 11, 13, 59, 19, 797, 7, 227, 23, 7, 11, 61, 17, 41, 11} )
and apart from 9 they are not divisible by 3.

Now you can add to 9139199339939339 an arbitrary sequence
of '3' and the result is always a composite number, because
it can be easily verified that it
will be always divisible by 7 or 11 or 13 or 37.

In particular the concatenation of 9139199339939339 with
n copies of 3 is divisible by
7  if mod(n,6)=1  hence 1, 7, 13, 19, 25,...
11 if mod(n,6)=0,2 or 4  hence 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...
13 if mod(n,6)=3  hence 3, 9, 15, 21, 27, ...
37 if mod(n,6)=2 or 5  hence 2, 5, 8, 11, 14, 17,...

since these cases cover all the possible residues mod 6,
then the concatenation is always divisible by at least
one of the numbers 7, 11, 13 or 37.

***

Claudio wrote:

Haciendo una busqueda rápida encontré

913133933333333333333333333333333333333333333333339333333333333393333333333
333333333333333333333933333333333333333333333333333333333333333333333333333
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
333339333333333333333333333333

que curiosamente cumple y obviamente todos los anteriores.
No veo ningun patron

No puedo seguir porque tiene  255 dígitos y el addin se cuelga.
 

91793393333333393333333333333333393333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
333333333333333333333333333333333

9191339393339333333333333333339333333333333333339333333333333333333333333
3333333339333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
333333333333333333333333333333333333

***

Fred wrote:

I found a list of composites 5269 long starting with 9 for a seed.  I killed it while it was still succeeding.

Numbers in parentheses indicate repetition.  The number below is the 5269th term (with 5270 digits).

 

9131339 . 3(43) . 9 . 3(13) . 9 . 3(31) . 9 . 3(133) . 9 . 3(1379) . 9 . 3(2564) . 9 . 3(1094)

The repetition in the 3's indicate give a clue to the rarity of primes.

***

Abhiram wrote:

For Q1, I was able to generate

  With Seed  4: 
      84 digit Composite integer  4979399399939999999999339999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999

  With Seed  9: 
      92 digit Composite integer  9179999399999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999
    176 digit Composite integer 9179999399999999939333333333333333333333333
333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333

     Possible infinite Composite integer 91799993999999999[3]. My system was able to handle till 2159 digits only. Perhaps some one can cross verify if there is a limit to this!

  With Seed 11: a possible infinite digit Composite integer 1199399999999999939999[3]. Again my system was able to handle till 1571 digits only. Perhaps some one can cross verify if there is a limit to this also.

With Seed 4 I was able to generate 1856 digit composite integer

4979399399939999939(3)

***

Luis wrote:

For de first question I found the  number:

913993999999999193333333333333339 followed by 130 threes. (It can continue, but I was tired.)

For the second, I think it is possible to find an infinitely large number.

***