Problems & Puzzles: Puzzles

Puzzle 606. Puzzle 738 from Claudio Meller's site Claudio Meller in his interesting site, published the Puzzle 738. Find all the integers composed only by prime-digits such that its square remain composed only by prime-digits. Claudio states that apparently the only integers having such property are: 5, 235 & 72335. Q1. Can verify the Claudio's statement or find a counterexample? Q2. Redo Q1 admitting "1" as prime-digit.

---

Contributions came from Torbjörn Alm, Emmanuel Vantieghem & Hakan Summakoğlu

***

Torbjörn wrote:

Checked all numbers below 10^-9

1  5  +25
2  35  +1225
3  235  +55225
4  335  +112225
5  3335  +11122225
6  33335  +1111222225
7  72335  +5232352225
8  333335  +111112222225
9  723335  +523213522225
10  3333335  +11111122222225
11  7233335  +52321135222225
12  33333335  +1111111222222225
13  72333335  +5232111352222225
14  333333335  +111111112222222225
15  723333335  +523211113522222225
Number of solutions: 15

Q1: There are no more solutions if  '1' is not permitted.
Q2: In the list above, the square contains '1':s.

***

Emmanuel wrote:

Q1 : there is no fourth solution smaller than  10^34.

Q2 : there are infinitely many solutions, for instance : (1000 (10^n -1)/3+515). 

If we allow 1 only in the squares, then the solutions are sparser : here are those with less than 22 digits :

3
35
235, 335
3335
33335, 72335
333335, 723335
3333335, 7233335
33333335, 72333335
333333335, 723333335
3333333335, 7233333335
33333333335, 72333333335
333333333335, 723333333335
3333333333335, 7233333333335
33333333333335, 72333333333335
227533573723335, 333333333333335, 723333333333335
3333333333333335, 7233333333333335, 7235573755772335
33333333333333335, 33552235575772335, 72333333333333335
333333333333333335, 723333333333333335
3333333333333333335, 7233333333333333335
33333333333333333335, 72333333333333333335
333333333333333333335, 723333333333333333335
3333333333333333333335, 3357277352732733723335, 7227255725222233723335, 7233333333333333333335, 7557332553377373723335

Clearly, there are infinitely many solutions, among which  3...35.

***

Hakan wrote:

Q2: There are infinite integer having q2 property.

some infinite family solutions:
[12(3)x5], for x=1 to infinite.
[(3)x5], for x=1 to infinite.
[(3)x515], for x=1 to infinite.
[132(3)x5], for x=2 to infinite.
[72(3)x5], for x=2 to infinite.
[1332(3)x5], for x=3 to infinite. 

İntegers for q2  <10^7:1,5,11,15,35,111,115,235,335,715,1235,2715,3335,3511,3515,3711, 12335,27115,33335,33515,35711,37115,72335,75711,111235, 123335,132335,177515,333335, 333515,357115,572115,575515,577515, 723335,757115,1233335,1312335, 1323335,3333335,3333515, 3512511,5227115,5772115,7233335…

***