Problems & Puzzles: Puzzles

Puzzle 368. Attained by invalid arithmetic

In the page 87 of the book "Excursions in Number Theory", by Stanley & Anderson, Dover. we can see this example of valid equation attained by invalid arithmetic

143185/1701856 = 1435/17056 (by crossing out '18')

I have been digging around with similar expressions, restrained to the following model:

A/B = P/Q , (by crossing out X, inside A & B), A<B, such that P&Q are primes

I find out that at least some cases can be grouped by families each containing infinite members. Examples:

26/65 = 266/665 = 2666/6665 = ... = 2/5

143/341 = 1443/3441 = 14443/34441 = ... = 13/31

Questions.

Find out interesting examples with large values of primes in both P&Q (no matter if they are inside or not a family of cases)
 

Jaroslaw Wroblewski sent one solution:

A=333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333332393
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000084603
B=999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999059
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000084609
P=3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333323933
Q=9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999990599

***

Farideh Firoozbakht sent another one solution:

In the following example p & q are greater than 5000000 but these
primes aren't inside A & B.
 
 
A/B=580431798994439001/10120340889978149001
=58043179898994439001/1012034088989978149001
=5804317989898994439001/101203408898989978149001=...
=5804317994439001/101203408978149001
=5689381/99199381 =p/q

***

On our (Farideh's & mine) request Mr. Wroblewski explined his approach:

Consider a number of the form 9999...991, I will take 5-digit example,
99991.

Let N be a number of the same decimal length (leading zeros allowed),
5-digit in this case. By trial and error I can say N=05868 is a very
good candidate.

For digits d=1,3,7,9 find such a number n that
nNd = nd * 99991 (here "nNd" and "nd" are decimal concatenations)

Given N and d, finding n is just a matter of solving
a linear equation, hence such rational n always
exists, let's hope it is a positive integer.

In the example I am considering we get:

4591 * 99991 = 459058681
26813 * 99991 = 2681058683
71257 * 99991 = 7125058687
93479 * 99991 = 9347058689

and I had chosen N so that all left factors are prime.

Hence you get not just a single fraction, but a 4-way proportion
459058681 : 2681058683 : 7125058687 : 9347058689
which can be simplified by removing 05868 to a proportion of 4 primes :
4591 : 26813 : 71257 : 93479

In the example I have submitted before I have started with 100-digit factor
999...991 and tried small numbers until I got 2 out of 4 numbers "nd"
prime. It happened that N=000...0008460 was the smallest number
producing 2 primes, for d=3,9.

***

Following the above explanation Farideh got the following large solutions:

1)

P = (10^600-1922221)/9 = 11111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111110897531
 
&  Q = (10^600-640741)/3 = 3333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
333333333333333333333333333333333333333333119753
 
and in this case we have: A = P*(10^600-9) & B=Q*(10^600-9).
 
******
 
It's interesting that If  N is a k-digit number (leading zeros allowed) where
p=n1.d1 , n1.N.d1=(n1.d1)*(10^k-9) , q=n2.d2, n2.N.d2=(n2.d2)*(10^k-9)
d1& d2<10 and dot(.) means concatenations then we have:
 
n1.N.d1/ n2.N.d2 = n1.N.N.d1/ n2.N.N.d2 = n1.N.N.N.d1/ n2.N.N.Nd2 =....= p/q.
 
That's because from n.N.d = n.d*(10^k-9) we have the following equalities
(the proof is easy):
 
n.N.N.d = n.d * (10^(2k)-9(10^k+1))
n.N.N.N.d = n.d * (10^(3k)-9(10^(2k)+10^k+1))
n.N.N.N.N.d = n.d * (10^(4k)-9(10^(3k)+10^(2k)+10^k+1))
.
.
.
n.N.N. ... .N.N.d = n.d * (10^(tk)-9(10^((t-1)k)+10^((t-2)k)+...+10^(0k))  (t N's are used)

2)

P=(10^2000-6155611)/3, Q=10^2000-2051871, A=P*(10^2000-9) & B=Q*(10^2000-9)
 
in this case we have:
 
 A=Floor(P/10).N.3     B=Floor(Q/10).N.9  where N=00...01846683 (2000-digit)
note that P=Floor(P/10).3 & Q=Floor(Q/10).9 and dot, "."  means concatenation.

***

 

 
Records   |  Conjectures  |  Problems  |  Puzzles