Puzzle 1215. Find more primes like 23497

puzz_1216.htm

Problems & Puzzles: Puzzles

Puzzle 1215. Find more primes like 23497

The following nice puzzle was sent by Emmanuel Vantieghem

23497 is the smallest distinct-digit prime which is the sum of powers of its digits in four different ways :
23497 = 2^5 + 3^4 + 4^2 + 9^4 + 7^5
23497 = 2^5 + 3^8 + 4^2 + 9^2 + 7^5
23497 = 2^7 + 3^4 + 4^7 + 9^4 + 7^3
23497 = 2^7 + 3^8 + 4^7 + 9^2 + 7^3.

Q1. Find three more primes like 23497.

Q2.Find the greatest distinct-digits-prime with four representations as sum of powers of its digits

Q3. Find the smallest distinct-digits-prime with more than four representations (k>4) of sum of powers of its digits.

Q4. Since the number of distinct-digit primes is finite, there must be a greatest k for which there exists at least one distinct-digit prime with k representations. Send your example with the largest k you can find.

Contributions came from Giorgos Kalogeropoulos,Michael Branicky, Gennady Gusev, Simon Cavegn, Emmanuel Vantieghem

***

Giorgos wrote:
23497
2^5+3^8+4^2+9^2+7^5,

2^5+3^4+4^2+9^4+7^5,

2^7+3^8+4^7+9^2+7^3,

2^7+3^4+4^7+9^4+7^3

284357

2^6+8^4+4^9+3^3+5^6+7^4,

2^6+8^6+4^6+3^3+5^6+7^4,

2^8+8^4+4^9+3^7+5^6+7^2,

2^8+8^6+4^6+3^7+5^6+7^2

284539

2^6+8^2+4^9+5^6+3^4+9^4,

2^6+8^2+4^9+5^6+3^8+9^2,

2^6+8^6+4^3+5^6+3^4+9^4,

2^6+8^6+4^3+5^6+3^8+9^2

284573

2^6+8^4+4^9+5^6+7^4+3^5,

2^6+8^6+4^4+5^2+7^4+3^9,

2^6+8^6+4^6+5^6+7^4+3^5,

2^8+8^2+4^9+5^2+7^4+3^9,

2^8+8^6+4^3+5^2+7^4+3^9

5627849

5^4+6^3+2^4+7^7+8^4+4^7+9^7,

5^6+6^4+2^6+7^7+8^4+4^4+9^7,

5^6+6^4+2^8+7^7+8^2+4^6+9^7,

5^6+6^4+2^8+7^7+8^4+4^3+9^7

I searched all numbers that do not include 0 or 1.

Q1. 284357, 284539, 5627849

Q2. 5627849

Q3. 284573 k=5

Q4. 284573 k=5

If we include the digit 1 we have this additional case
(but I think the case of 1 is problematic as it can be expressed as 1^2,1^3,1^4... which increases the value of k)

Here I will use only 1=1^2

42315769 k=5

4^3+2^3+3^7+1^2+5^9+7^9+6^3+9^4,

4^4+2^5+3^5+1^2+5^9+7^9+6^5+9^3,

4^5+2^7+3^3+1^2+5^9+7^9+6^4+9^4,

4^5+2^7+3^3+1^2+5^9+7^9+6^5+9^2,

4^9+2^9+3^9+1^2+5^3+7^9+6^8+9^2

43129657 k=4

4^4+3^6+1^2+2^7+9^8+6^4+5^7+7^4,

4^5+3^4+1^2+2^3+9^8+6^4+5^7+7^4,

4^6+3^3+1^2+2^7+9^8+6^3+5^7+7^3,

4^8+3^5+1^2+2^3+9^8+6^3+5^3+7^5

***

Michael wrote:
First, assume that only powers 2 and higher are allowed, and only powers equal to 2 are allowed for digits 0 and 1 (else any such number would have infinite representations).

Q1: The next four such primes are 283541, 372689, 543827, and 584723.

283541 = 2^10 + 8^6 + 3^9 + 5^4 + 4^3 + 1^2
283541 = 2^18 + 8^2 + 3^9 + 5^4 + 4^5 + 1^2
283541 = 2^10 + 8^2 + 3^9 + 5^4 + 4^9 + 1^2
283541 = 2^6 + 8^6 + 3^9 + 5^4 + 4^5 + 1^2

372689 = 3^4 + 7^3 + 2^15 + 6^7 + 8^3 + 9^5
372689 = 3^4 + 7^3 + 2^9 + 6^7 + 8^5 + 9^5
372689 = 3^10 + 7^3 + 2^15 + 6^7 + 8^3 + 9^2
372689 = 3^10 + 7^3 + 2^9 + 6^7 + 8^5 + 9^2

543827 = 5^2 + 4^7 + 3^6 + 8^6 + 2^18 + 7^4
543827 = 5^4 + 4^7 + 3^7 + 8^6 + 2^18 + 7^3
543827 = 5^2 + 4^9 + 3^6 + 8^6 + 2^14 + 7^4
543827 = 5^4 + 4^9 + 3^7 + 8^6 + 2^14 + 7^3

584723 = 5^8 + 8^2 + 4^3 + 7^5 + 2^4 + 3^11
584723 = 5^8 + 8^4 + 4^4 + 7^6 + 2^16 + 3^8
584723 = 5^8 + 8^4 + 4^8 + 7^6 + 2^8 + 3^8
584723 = 5^8 + 8^2 + 4^2 + 7^5 + 2^6 + 3^11

Q2: The greatest with k = 4 representations is 926174503.

926174503 == 9^4 + 2^29 + 6^4 + 1^2 + 7^7 + 4^10 + 5^5 + 0^2 + 3^18
926174503 == 9^9 + 2^29 + 6^5 + 1^2 + 7^7 + 4^10 + 5^5 + 0^2 + 3^4
926174503 == 9^2 + 2^29 + 6^5 + 1^2 + 7^7 + 4^10 + 5^5 + 0^2 + 3^18
926174503 == 9^9 + 2^29 + 6^4 + 1^2 + 7^7 + 4^10 + 5^5 + 0^2 + 3^8

Q3: The smallest with k > 4 representations is 284357 with k = 10:

284357 = 2^18 + 8^2 + 4^6 + 3^3 + 5^6 + 7^4
284357 = 2^18 + 8^4 + 4^3 + 3^3 + 5^6 + 7^4
284357 = 2^6 + 8^6 + 4^6 + 3^3 + 5^6 + 7^4
284357 = 2^8 + 8^6 + 4^6 + 3^7 + 5^6 + 7^2
284357 = 2^8 + 8^4 + 4^9 + 3^7 + 5^6 + 7^2
284357 = 2^12 + 8^2 + 4^9 + 3^3 + 5^6 + 7^4
284357 = 2^12 + 8^6 + 4^4 + 3^7 + 5^6 + 7^2
284357 = 2^6 + 8^4 + 4^9 + 3^3 + 5^6 + 7^4
284357 = 2^18 + 8^4 + 4^4 + 3^7 + 5^6 + 7^2
284357 = 2^12 + 8^6 + 4^3 + 3^3 + 5^6 + 7^4

Q4: The greatest k found was k = 14, achieved with one prime, 43129657:

43129657 == 4^2 + 3^7 + 1^2 + 2^11 + 9^8 + 6^3 + 5^7 + 7^3
43129657 == 4^4 + 3^16 + 1^2 + 2^7 + 9^3 + 6^4 + 5^7 + 7^4
43129657 == 4^3 + 3^16 + 1^2 + 2^11 + 9^2 + 6^3 + 5^7 + 7^4
43129657 == 4^4 + 3^16 + 1^2 + 2^15 + 9^2 + 6^6 + 5^5 + 7^2
43129657 == 4^5 + 3^4 + 1^2 + 2^3 + 9^8 + 6^4 + 5^7 + 7^4
43129657 == 4^8 + 3^5 + 1^2 + 2^3 + 9^8 + 6^3 + 5^3 + 7^5
43129657 == 4^3 + 3^4 + 1^2 + 2^11 + 9^8 + 6^3 + 5^7 + 7^4
43129657 == 4^4 + 3^6 + 1^2 + 2^7 + 9^8 + 6^4 + 5^7 + 7^4
43129657 == 4^4 + 3^6 + 1^2 + 2^15 + 9^8 + 6^6 + 5^3 + 7^4
43129657 == 4^4 + 3^4 + 1^2 + 2^15 + 9^8 + 6^6 + 5^5 + 7^2
43129657 == 4^2 + 3^3 + 1^2 + 2^15 + 9^8 + 6^6 + 5^5 + 7^3
43129657 == 4^5 + 3^16 + 1^2 + 2^3 + 9^2 + 6^4 + 5^7 + 7^4
43129657 == 4^4 + 3^16 + 1^2 + 2^15 + 9^3 + 6^6 + 5^3 + 7^4
43129657 == 4^6 + 3^3 + 1^2 + 2^7 + 9^8 + 6^3 + 5^7 + 7^3

If exponents >= 1 are allowed, then ...

... for Q1, I found 92387, 132469, 235489, and 249763 are next:
92387 = 9^1 + 2^9 + 3^10 + 8^5 + 7^2
92387 = 9^5 + 2^9 + 3^2 + 8^5 + 7^2
92387 = 9^1 + 2^15 + 3^10 + 8^3 + 7^2
92387 = 9^5 + 2^15 + 3^2 + 8^3 + 7^2

132469 = 1^2 + 3^9 + 2^9 + 4^8 + 6^6 + 9^2
132469 = 1^2 + 3^3 + 2^17 + 4^3 + 6^4 + 9^1
132469 = 1^2 + 3^7 + 2^13 + 4^7 + 6^6 + 9^5
132469 = 1^2 + 3^1 + 2^17 + 4^2 + 6^4 + 9^2

235489 = 2^3 + 3^1 + 5^7 + 4^8 + 8^5 + 9^5
235489 = 2^1 + 3^2 + 5^7 + 4^8 + 8^5 + 9^5
235489 = 2^1 + 3^10 + 5^7 + 4^8 + 8^5 + 9^1
235489 = 2^15 + 3^1 + 5^7 + 4^8 + 8^1 + 9^5

249763 = 2^17 + 4^3 + 9^3 + 7^6 + 6^1 + 3^5
249763 = 2^17 + 4^2 + 9^3 + 7^6 + 6^3 + 3^4
249763 = 2^17 + 4^2 + 9^2 + 7^6 + 6^3 + 3^6
249763 = 2^17 + 4^5 + 9^1 + 7^6 + 6^1 + 3^1

... for Q2, I found 930258671:
930258671 = 9^9 + 3^16 + 0^2 + 2^3 + 5^9 + 8^9 + 6^11 + 7^7 + 1^2
930258671 = 9^8 + 3^18 + 0^2 + 2^27 + 5^9 + 8^1 + 6^11 + 7^7 + 1^2
930258671 = 9^8 + 3^18 + 0^2 + 2^3 + 5^9 + 8^9 + 6^11 + 7^7 + 1^2
930258671 = 9^9 + 3^16 + 0^2 + 2^27 + 5^9 + 8^1 + 6^11 + 7^7 + 1^2

... for Q3, I found 248753 with k = 5:
248753 = 2^9 + 4^2 + 8^5 + 7^6 + 5^7 + 3^9
248753 = 2^17 + 4^2 + 8^1 + 7^6 + 5^1 + 3^1
248753 = 2^15 + 4^2 + 8^3 + 7^6 + 5^7 + 3^9
248753 = 2^15 + 4^8 + 8^5 + 7^6 + 5^1 + 3^3
248753 = 2^5 + 4^8 + 8^3 + 7^4 + 5^5 + 3^11

... for Q4, I found 4862593 with k = 20:

4862593 = 4^6 + 8^2 + 6^1 + 2^14 + 5^2 + 9^5 + 3^14
4862593 = 4^7 + 8^2 + 6^1 + 2^12 + 5^2 + 9^7 + 3^10
4862593 = 4^3 + 8^4 + 6^1 + 2^14 + 5^2 + 9^5 + 3^14
4862593 = 4^8 + 8^4 + 6^5 + 2^2 + 5^2 + 9^7 + 3^7
4862593 = 4^6 + 8^2 + 6^1 + 2^14 + 5^2 + 9^7 + 3^10
4862593 = 4^4 + 8^3 + 6^3 + 2^9 + 5^7 + 9^7 + 3^1
4862593 = 4^3 + 8^5 + 6^6 + 2^3 + 5^3 + 9^7 + 3^1
4862593 = 4^1 + 8^4 + 6^5 + 2^16 + 5^2 + 9^7 + 3^7
4862593 = 4^7 + 8^4 + 6^1 + 2^6 + 5^2 + 9^5 + 3^14
4862593 = 4^7 + 8^2 + 6^1 + 2^12 + 5^2 + 9^5 + 3^14
4862593 = 4^2 + 8^3 + 6^3 + 2^9 + 5^7 + 9^7 + 3^5
4862593 = 4^3 + 8^5 + 6^6 + 2^1 + 5^3 + 9^1 + 3^14
4862593 = 4^7 + 8^4 + 6^1 + 2^6 + 5^2 + 9^7 + 3^10
4862593 = 4^3 + 8^4 + 6^1 + 2^14 + 5^2 + 9^7 + 3^10
4862593 = 4^2 + 8^5 + 6^6 + 2^5 + 5^3 + 9^7 + 3^3
4862593 = 4^3 + 8^1 + 6^4 + 2^7 + 5^7 + 9^7 + 3^1
4862593 = 4^5 + 8^1 + 6^3 + 2^3 + 5^7 + 9^7 + 3^5
4862593 = 4^3 + 8^1 + 6^6 + 2^15 + 5^3 + 9^7 + 3^1
4862593 = 4^3 + 8^5 + 6^6 + 2^7 + 5^1 + 9^7 + 3^1
4862593 = 4^3 + 8^5 + 6^6 + 2^1 + 5^3 + 9^7 + 3^2

***

Gennady wrote:

Q1. Like 23497

The smallest numbers (without using digit 0):

k= 4

132469= 1^ 1 + 3^ 1 + 2^17 + 4^ 2 + 6^ 4 + 9^ 2

132469= 1^ 1 + 3^ 3 + 2^17 + 4^ 3 + 6^ 4 + 9^ 1

132469= 1^ 1 + 3^ 7 + 2^13 + 4^ 7 + 6^ 6 + 9^ 5

132469= 1^ 1 + 3^ 9 + 2^ 9 + 4^ 8 + 6^ 6 + 9^ 2

k= 5

248753= 2^ 5 + 4^ 8 + 8^ 3 + 7^ 4 + 5^ 5 + 3^11

248753= 2^ 9 + 4^ 2 + 8^ 5 + 7^ 6 + 5^ 7 + 3^ 9

248753= 2^15 + 4^ 2 + 8^ 3 + 7^ 6 + 5^ 7 + 3^ 9

248753= 2^15 + 4^ 8 + 8^ 5 + 7^ 6 + 5^ 1 + 3^ 3

248753= 2^17 + 4^ 2 + 8^ 1 + 7^ 6 + 5^ 1 + 3^ 1

k= 4

249763= 2^17 + 4^ 2 + 9^ 2 + 7^ 6 + 6^ 3 + 3^ 6

249763= 2^17 + 4^ 2 + 9^ 3 + 7^ 6 + 6^ 3 + 3^ 4

249763= 2^17 + 4^ 3 + 9^ 3 + 7^ 6 + 6^ 1 + 3^ 5

249763= 2^17 + 4^ 5 + 9^ 1 + 7^ 6 + 6^ 1 + 3^ 1

k= 4

264793= 2^ 1 + 6^ 2 + 4^ 9 + 7^ 3 + 9^ 2 + 3^ 7

264793= 2^ 5 + 6^ 1 + 4^ 9 + 7^ 3 + 9^ 2 + 3^ 7

264793= 2^ 7 + 6^ 2 + 4^ 9 + 7^ 4 + 9^ 2 + 3^ 1

264793= 2^11 + 6^ 1 + 4^ 9 + 7^ 3 + 9^ 1 + 3^ 5

k= 4

269473= 2^ 7 + 6^ 3 + 9^ 2 + 4^ 9 + 7^ 3 + 3^ 8

269473= 2^ 7 + 6^ 3 + 9^ 4 + 4^ 9 + 7^ 3 + 3^ 4

269473= 2^ 9 + 6^ 1 + 9^ 4 + 4^ 9 + 7^ 1 + 3^ 5

269473= 2^17 + 6^ 2 + 9^ 1 + 4^ 5 + 7^ 6 + 3^ 9

The smallest numbers (with using digit 0):

k= 4

12347=1^ 0 + 2^13 + 3^ 2 + 4^ 6 + 7^ 2

12347=1^ 0 + 2^13 + 3^ 6 + 4^ 5 + 7^ 4

12347=1^ 1 + 2^13 + 3^ 2 + 4^ 6 + 7^ 2

12347=1^ 1 + 2^13 + 3^ 6 + 4^ 5 + 7^ 4

k= 4

16927=1^ 0 + 6^ 1 + 9^ 2 + 2^ 5 + 7^ 5

16927=1^ 0 + 6^ 2 + 9^ 2 + 2^ 1 + 7^ 5

16927=1^ 1 + 6^ 1 + 9^ 2 + 2^ 5 + 7^ 5

16927=1^ 1 + 6^ 2 + 9^ 2 + 2^ 1 + 7^ 5

k= 4

17539=1^ 0 + 7^ 5 + 5^ 0 + 3^ 0 + 9^ 3

17539=1^ 0 + 7^ 5 + 5^ 0 + 3^ 6 + 9^ 0

17539=1^ 1 + 7^ 5 + 5^ 0 + 3^ 0 + 9^ 3

17539=1^ 1 + 7^ 5 + 5^ 0 + 3^ 6 + 9^ 0

k= 6

20483=2^ 0 + 0^ 0 + 4^ 7 + 8^ 4 + 3^ 0

20483=2^ 1 + 0^ 1 + 4^ 7 + 8^ 4 + 3^ 0

20483=2^ 5 + 0^ 1 + 4^ 4 + 8^ 3 + 3^ 9

20483=2^12 + 0^ 0 + 4^ 7 + 8^ 0 + 3^ 0

20483=2^14 + 0^ 0 + 4^ 0 + 8^ 4 + 3^ 0

20483=2^14 + 0^ 0 + 4^ 6 + 8^ 0 + 3^ 0

k= 4

23417=2^ 5 + 3^ 8 + 4^ 2 + 1^ 0 + 7^ 5

23417=2^ 5 + 3^ 8 + 4^ 2 + 1^ 1 + 7^ 5

23417=2^ 7 + 3^ 8 + 4^ 7 + 1^ 0 + 7^ 3

23417=2^ 7 + 3^ 8 + 4^ 7 + 1^ 1 + 7^ 3

k= 6

23497=2^ 5 + 3^ 4 + 4^ 2 + 9^ 4 + 7^ 5

23497=2^ 5 + 3^ 8 + 4^ 2 + 9^ 2 + 7^ 5

23497=2^ 6 + 3^ 0 + 4^ 3 + 9^ 4 + 7^ 5

23497=2^ 6 + 3^ 8 + 4^ 3 + 9^ 0 + 7^ 5

23497=2^ 7 + 3^ 4 + 4^ 7 + 9^ 4 + 7^ 3

23497=2^ 7 + 3^ 8 + 4^ 7 + 9^ 2 + 7^ 3

The last number (23497 - from condition of puzzle) has 6 different ways.

Q2. The greatest distinct-digits-prime with four representations

The greatest number (without using 0):

k= 4 (exactly 4)

91285673= 9^ 1 + 1^ 1 + 2^ 1 + 8^ 7 + 5^11 + 6^ 3 + 7^ 9 + 3^ 8

91285673= 9^ 4 + 1^ 1 + 2^ 1 + 8^ 7 + 5^11 + 6^ 3 + 7^ 9 + 3^ 2

91285673= 9^ 4 + 1^ 1 + 2^ 3 + 8^ 7 + 5^11 + 6^ 3 + 7^ 9 + 3^ 1

91285673= 9^ 4 + 1^ 1 + 2^21 + 8^ 1 + 5^11 + 6^ 3 + 7^ 9 + 3^ 1

The greatest number with k>4

k= 5

91875643= 9^ 3 + 1^ 1 + 8^ 1 + 7^ 1 + 5^11 + 6^ 2 + 4^ 2 + 3^16

91875643= 9^ 3 + 1^ 1 + 8^ 1 + 7^ 2 + 5^11 + 6^ 1 + 4^ 1 + 3^16

91875643= 9^ 8 + 1^ 1 + 8^ 1 + 7^ 1 + 5^11 + 6^ 2 + 4^ 2 + 3^ 6

91875643= 9^ 8 + 1^ 1 + 8^ 1 + 7^ 2 + 5^11 + 6^ 1 + 4^ 1 + 3^ 6

91875643= 9^ 8 + 1^ 1 + 8^ 3 + 7^ 2 + 5^11 + 6^ 3 + 4^ 2 + 3^ 1

The greatest number (with using 0):

k= 4 (exactly 4)

985617023= 9^ 1 + 8^ 5 + 5^ 5 + 6^10 + 1^ 0 + 7^ 7 + 0^ 1 + 2^29 + 3^18

985617023= 9^ 1 + 8^ 5 + 5^ 5 + 6^10 + 1^ 1 + 7^ 7 + 0^ 1 + 2^29 + 3^18

985617023= 9^ 9 + 8^ 5 + 5^ 5 + 6^10 + 1^ 0 + 7^ 7 + 0^ 1 + 2^29 + 3^ 2

985617023= 9^ 9 + 8^ 5 + 5^ 5 + 6^10 + 1^ 1 + 7^ 7 + 0^ 1 + 2^29 + 3^ 2

The greatest number with k>4

k= 6

986245301= 9^ 9 + 8^ 1 + 6^ 9 + 2^27 + 4^13 + 5^ 2 + 3^18 + 0^ 0 + 1^ 0

986245301= 9^ 9 + 8^ 1 + 6^ 9 + 2^27 + 4^13 + 5^ 2 + 3^18 + 0^ 0 + 1^ 1

986245301= 9^ 9 + 8^ 9 + 6^ 9 + 2^ 3 + 4^13 + 5^ 2 + 3^18 + 0^ 0 + 1^ 0

986245301= 9^ 9 + 8^ 9 + 6^ 9 + 2^ 3 + 4^13 + 5^ 2 + 3^18 + 0^ 0 + 1^ 1

986245301= 9^ 9 + 8^ 9 + 6^ 9 + 2^ 5 + 4^13 + 5^ 0 + 3^18 + 0^ 0 + 1^ 0

986245301= 9^ 9 + 8^ 9 + 6^ 9 + 2^ 5 + 4^13 + 5^ 0 + 3^18 + 0^ 0 + 1^ 1

Q3. The smallest distinct-digits-prime with more than four representations (k>4)

The smallest numbers (without using 0) with k>4:

k= 5

248753= 2^ 5 + 4^ 8 + 8^ 3 + 7^ 4 + 5^ 5 + 3^11

248753= 2^ 9 + 4^ 2 + 8^ 5 + 7^ 6 + 5^ 7 + 3^ 9

248753= 2^15 + 4^ 2 + 8^ 3 + 7^ 6 + 5^ 7 + 3^ 9

248753= 2^15 + 4^ 8 + 8^ 5 + 7^ 6 + 5^ 1 + 3^ 3

248753= 2^17 + 4^ 2 + 8^ 1 + 7^ 6 + 5^ 1 + 3^ 1

The smallest numbers (with using 0) with k>4:

k= 6

20483=2^ 0 + 0^ 0 + 4^ 7 + 8^ 4 + 3^ 0

20483=2^ 1 + 0^ 1 + 4^ 7 + 8^ 4 + 3^ 0

20483=2^ 5 + 0^ 1 + 4^ 4 + 8^ 3 + 3^ 9

20483=2^12 + 0^ 0 + 4^ 7 + 8^ 0 + 3^ 0

20483=2^14 + 0^ 0 + 4^ 0 + 8^ 4 + 3^ 0

20483=2^14 + 0^ 0 + 4^ 6 + 8^ 0 + 3^ 0

Q4. The number of distinct-digit primes with a greatest k.

The numbers (without using 0) with the greatest k for n-digit numbers:

6-digit numbers

k= 12

284357= 2^ 2 + 8^ 6 + 4^ 2 + 3^ 8 + 5^ 6 + 7^ 1

284357= 2^ 4 + 8^ 6 + 4^ 1 + 3^ 8 + 5^ 6 + 7^ 1

284357= 2^ 6 + 8^ 4 + 4^ 9 + 3^ 3 + 5^ 6 + 7^ 4

284357= 2^ 6 + 8^ 6 + 4^ 6 + 3^ 3 + 5^ 6 + 7^ 4

284357= 2^ 8 + 8^ 4 + 4^ 9 + 3^ 7 + 5^ 6 + 7^ 2

284357= 2^ 8 + 8^ 6 + 4^ 6 + 3^ 7 + 5^ 6 + 7^ 2

284357= 2^12 + 8^ 2 + 4^ 9 + 3^ 3 + 5^ 6 + 7^ 4

284357= 2^12 + 8^ 6 + 4^ 3 + 3^ 3 + 5^ 6 + 7^ 4

284357= 2^12 + 8^ 6 + 4^ 4 + 3^ 7 + 5^ 6 + 7^ 2

284357= 2^18 + 8^ 2 + 4^ 6 + 3^ 3 + 5^ 6 + 7^ 4

284357= 2^18 + 8^ 4 + 4^ 3 + 3^ 3 + 5^ 6 + 7^ 4

284357= 2^18 + 8^ 4 + 4^ 4 + 3^ 7 + 5^ 6 + 7^ 2

7-digit numbers

k= 16

4862593= 4^ 1 + 8^ 4 + 6^ 5 + 2^16 + 5^ 2 + 9^ 7 + 3^ 7

4862593= 4^ 2 + 8^ 3 + 6^ 3 + 2^ 9 + 5^ 7 + 9^ 7 + 3^ 5

4862593= 4^ 2 + 8^ 5 + 6^ 6 + 2^ 5 + 5^ 3 + 9^ 7 + 3^ 3

4862593= 4^ 3 + 8^ 1 + 6^ 4 + 2^ 7 + 5^ 7 + 9^ 7 + 3^ 1

4862593= 4^ 3 + 8^ 1 + 6^ 6 + 2^15 + 5^ 3 + 9^ 7 + 3^ 1

4862593= 4^ 3 + 8^ 4 + 6^ 1 + 2^14 + 5^ 2 + 9^ 5 + 3^14

4862593= 4^ 3 + 8^ 5 + 6^ 6 + 2^ 1 + 5^ 3 + 9^ 1 + 3^14

4862593= 4^ 3 + 8^ 5 + 6^ 6 + 2^ 1 + 5^ 3 + 9^ 7 + 3^ 2

4862593= 4^ 3 + 8^ 5 + 6^ 6 + 2^ 3 + 5^ 3 + 9^ 7 + 3^ 1

4862593= 4^ 3 + 8^ 5 + 6^ 6 + 2^ 7 + 5^ 1 + 9^ 7 + 3^ 1

4862593= 4^ 4 + 8^ 3 + 6^ 3 + 2^ 9 + 5^ 7 + 9^ 7 + 3^ 1

4862593= 4^ 5 + 8^ 1 + 6^ 3 + 2^ 3 + 5^ 7 + 9^ 7 + 3^ 5

4862593= 4^ 6 + 8^ 2 + 6^ 1 + 2^14 + 5^ 2 + 9^ 5 + 3^14

4862593= 4^ 7 + 8^ 2 + 6^ 1 + 2^12 + 5^ 2 + 9^ 5 + 3^14

4862593= 4^ 7 + 8^ 4 + 6^ 1 + 2^ 6 + 5^ 2 + 9^ 5 + 3^14

4862593= 4^ 8 + 8^ 4 + 6^ 5 + 2^ 2 + 5^ 2 + 9^ 7 + 3^ 7

8-digit numbers

k= 18

43129657= 4^ 1 + 3^ 7 + 1^ 1 + 2^ 1 + 9^ 8 + 6^ 3 + 5^ 7 + 7^ 4

43129657= 4^ 2 + 3^ 3 + 1^ 1 + 2^15 + 9^ 8 + 6^ 6 + 5^ 5 + 7^ 3

43129657= 4^ 2 + 3^ 7 + 1^ 1 + 2^11 + 9^ 8 + 6^ 3 + 5^ 7 + 7^ 3

43129657= 4^ 3 + 3^ 4 + 1^ 1 + 2^11 + 9^ 8 + 6^ 3 + 5^ 7 + 7^ 4

43129657= 4^ 3 + 3^16 + 1^ 1 + 2^11 + 9^ 2 + 6^ 3 + 5^ 7 + 7^ 4

43129657= 4^ 4 + 3^ 4 + 1^ 1 + 2^15 + 9^ 8 + 6^ 6 + 5^ 5 + 7^ 2

43129657= 4^ 4 + 3^ 6 + 1^ 1 + 2^ 7 + 9^ 8 + 6^ 4 + 5^ 7 + 7^ 4

43129657= 4^ 4 + 3^ 6 + 1^ 1 + 2^15 + 9^ 8 + 6^ 6 + 5^ 3 + 7^ 4

43129657= 4^ 4 + 3^16 + 1^ 1 + 2^ 7 + 9^ 3 + 6^ 4 + 5^ 7 + 7^ 4

43129657= 4^ 4 + 3^16 + 1^ 1 + 2^15 + 9^ 2 + 6^ 6 + 5^ 5 + 7^ 2

43129657= 4^ 4 + 3^16 + 1^ 1 + 2^15 + 9^ 3 + 6^ 6 + 5^ 3 + 7^ 4

43129657= 4^ 5 + 3^ 4 + 1^ 1 + 2^ 3 + 9^ 8 + 6^ 4 + 5^ 7 + 7^ 4

43129657= 4^ 5 + 3^ 4 + 1^ 1 + 2^15 + 9^ 8 + 6^ 6 + 5^ 1 + 7^ 4

43129657= 4^ 5 + 3^16 + 1^ 1 + 2^ 3 + 9^ 2 + 6^ 4 + 5^ 7 + 7^ 4

43129657= 4^ 5 + 3^16 + 1^ 1 + 2^15 + 9^ 2 + 6^ 6 + 5^ 1 + 7^ 4

43129657= 4^ 6 + 3^ 3 + 1^ 1 + 2^ 7 + 9^ 8 + 6^ 3 + 5^ 7 + 7^ 3

43129657= 4^ 8 + 3^ 5 + 1^ 1 + 2^ 3 + 9^ 8 + 6^ 3 + 5^ 3 + 7^ 5

43129657= 4^ 8 + 3^ 5 + 1^ 1 + 2^ 7 + 9^ 8 + 6^ 3 + 5^ 1 + 7^ 5

The numbers (with using 0) with the greatest k for n-digit numbers:

5-digit numbers

k= 7

59243=5^ 0 + 9^ 0 + 2^ 7 + 4^ 3 + 3^10

59243=5^ 0 + 9^ 5 + 2^ 7 + 4^ 3 + 3^ 0

59243=5^ 3 + 9^ 0 + 2^ 2 + 4^ 3 + 3^10

59243=5^ 3 + 9^ 0 + 2^ 6 + 4^ 1 + 3^10

59243=5^ 3 + 9^ 5 + 2^ 1 + 4^ 3 + 3^ 1

59243=5^ 3 + 9^ 5 + 2^ 2 + 4^ 3 + 3^ 0

59243=5^ 3 + 9^ 5 + 2^ 6 + 4^ 1 + 3^ 0

6-digit numbers

k= 16

524387= 5^ 0 + 2^ 4 + 4^ 9 + 3^ 4 + 8^ 6 + 7^ 0

524387= 5^ 0 + 2^ 6 + 4^ 9 + 3^ 3 + 8^ 6 + 7^ 1

524387= 5^ 0 + 2^18 + 4^ 2 + 3^ 4 + 8^ 6 + 7^ 0

524387= 5^ 0 + 2^18 + 4^ 3 + 3^ 3 + 8^ 6 + 7^ 1

524387= 5^ 0 + 2^18 + 4^ 9 + 3^ 3 + 8^ 2 + 7^ 1

524387= 5^ 1 + 2^19 + 4^ 1 + 3^ 4 + 8^ 1 + 7^ 0

524387= 5^ 2 + 2^ 4 + 4^ 9 + 3^ 2 + 8^ 6 + 7^ 2

524387= 5^ 2 + 2^ 6 + 4^ 9 + 3^ 1 + 8^ 6 + 7^ 1

524387= 5^ 2 + 2^ 6 + 4^ 9 + 3^ 2 + 8^ 6 + 7^ 0

524387= 5^ 2 + 2^18 + 4^ 2 + 3^ 2 + 8^ 6 + 7^ 2

524387= 5^ 2 + 2^18 + 4^ 3 + 3^ 1 + 8^ 6 + 7^ 1

524387= 5^ 2 + 2^18 + 4^ 3 + 3^ 2 + 8^ 6 + 7^ 0

524387= 5^ 2 + 2^18 + 4^ 9 + 3^ 1 + 8^ 2 + 7^ 1

524387= 5^ 2 + 2^18 + 4^ 9 + 3^ 2 + 8^ 2 + 7^ 0

524387= 5^ 2 + 2^19 + 4^ 2 + 3^ 0 + 8^ 1 + 7^ 2

524387= 5^ 2 + 2^19 + 4^ 3 + 3^ 0 + 8^ 1 + 7^ 0

7-digit numbers

k= 32

1954273= 1^ 0 + 9^ 0 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^10 + 7^ 2 + 3^ 2

1954273= 1^ 0 + 9^ 0 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 6 + 7^ 2 + 3^ 2

1954273= 1^ 0 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^ 1 + 7^ 3 + 3^ 6

1954273= 1^ 0 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^10 + 7^ 2 + 3^ 0

1954273= 1^ 0 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 9 + 7^ 3 + 3^ 3

1954273= 1^ 0 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 5 + 7^ 0 + 3^ 4

1954273= 1^ 0 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 6 + 7^ 2 + 3^ 0

1954273= 1^ 0 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 5 + 7^ 2 + 3^ 6

1954273= 1^ 0 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 3 + 7^ 1 + 3^ 3

1954273= 1^ 0 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 5 + 7^ 0 + 3^ 2

1954273= 1^ 0 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 5 + 7^ 1 + 3^ 1

1954273= 1^ 0 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 2 + 2^ 5 + 7^ 3 + 3^ 3

1954273= 1^ 0 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^ 1 + 7^ 3 + 3^ 2

1954273= 1^ 0 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^ 3 + 7^ 3 + 3^ 1

1954273= 1^ 0 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 5 + 7^ 2 + 3^ 4

1954273= 1^ 0 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 7 + 7^ 1 + 3^ 3

1954273= 1^ 1 + 9^ 0 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^10 + 7^ 2 + 3^ 2

1954273= 1^ 1 + 9^ 0 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 6 + 7^ 2 + 3^ 2

1954273= 1^ 1 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^ 1 + 7^ 3 + 3^ 6

1954273= 1^ 1 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^10 + 7^ 2 + 3^ 0

1954273= 1^ 1 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 9 + 7^ 3 + 3^ 3

1954273= 1^ 1 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 5 + 7^ 0 + 3^ 4

1954273= 1^ 1 + 9^ 1 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 6 + 7^ 2 + 3^ 0

1954273= 1^ 1 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 5 + 7^ 2 + 3^ 6

1954273= 1^ 1 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 3 + 7^ 1 + 3^ 3

1954273= 1^ 1 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 5 + 7^ 0 + 3^ 2

1954273= 1^ 1 + 9^ 2 + 5^ 9 + 4^ 5 + 2^ 5 + 7^ 1 + 3^ 1

1954273= 1^ 1 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 2 + 2^ 5 + 7^ 3 + 3^ 3

1954273= 1^ 1 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^ 1 + 7^ 3 + 3^ 2

1954273= 1^ 1 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 3 + 2^ 3 + 7^ 3 + 3^ 1

1954273= 1^ 1 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 5 + 7^ 2 + 3^ 4

1954273= 1^ 1 + 9^ 3 + 5^ 9 + 4^ 4 + 2^ 7 + 7^ 1 + 3^ 3

8-digit numbers

k= 52

59824613= 5^ 2 + 9^ 1 + 8^ 3 + 2^ 7 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 2 + 9^ 1 + 8^ 3 + 2^ 7 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 2 + 9^ 8 + 8^ 3 + 2^ 7 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 0 + 3^ 2

59824613= 5^ 2 + 9^ 8 + 8^ 3 + 2^ 7 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 1 + 3^ 2

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 0 + 2^ 9 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 0 + 2^ 9 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 3 + 2^ 0 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 3 + 2^ 0 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 3 + 2^24 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 3 + 2^24 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 8 + 2^ 9 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 0 + 8^ 8 + 2^ 9 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^ 9 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 0

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^ 9 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 0

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 3 + 2^ 0 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 0

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 3 + 2^ 0 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 0

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 3 + 2^24 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 0

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 3 + 2^24 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 0

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 9 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 0

59824613= 5^ 3 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 9 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 0

59824613= 5^ 4 + 9^ 0 + 8^ 8 + 2^ 5 + 4^ 2 + 6^ 0 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 0 + 8^ 8 + 2^ 5 + 4^ 2 + 6^ 0 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 0 + 2^ 2 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 0 + 2^ 2 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 0 + 2^24 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 0 + 2^24 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 1 + 2^ 5 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 1 + 2^ 5 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 8 + 2^ 0 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 8 + 2^ 0 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 8 + 2^ 2 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 1 + 8^ 8 + 2^ 2 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^16

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^ 2 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^ 2 + 4^12 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^ 4 + 4^12 + 6^ 1 + 1^ 0 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^ 4 + 4^12 + 6^ 1 + 1^ 1 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^24 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^24 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^24 + 4^ 2 + 6^ 1 + 1^ 0 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 0 + 2^24 + 4^ 2 + 6^ 1 + 1^ 1 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 1 + 2^ 5 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 0 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 1 + 2^ 5 + 4^12 + 6^ 0 + 1^ 1 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 0 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 0 + 4^ 1 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 0 + 4^ 2 + 6^ 1 + 1^ 0 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 0 + 4^ 2 + 6^ 1 + 1^ 1 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 2 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 0 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 2 + 4^ 0 + 6^ 2 + 1^ 1 + 3^ 2

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 4 + 4^ 0 + 6^ 1 + 1^ 0 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 4 + 4^ 0 + 6^ 1 + 1^ 1 + 3^ 3

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 5 + 4^ 2 + 6^ 0 + 1^ 0 + 3^ 0

59824613= 5^ 4 + 9^ 8 + 8^ 8 + 2^ 5 + 4^ 2 + 6^ 0 + 1^ 1 + 3^ 0

9-digit numbers

k=158

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^12 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 3 + 4^ 2 + 2^11 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 2 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 0 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 1 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 5 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 5 + 6^ 0 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 2 + 7^ 3 + 4^ 5 + 2^12 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 2 + 7^ 3 + 4^ 6 + 2^10 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 2 + 7^ 4 + 4^ 5 + 2^11 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 2 + 2^ 7 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 3 + 2^10 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 4 + 2^ 5 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 0 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 5 + 2^ 6 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 1 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 5 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 1 + 7^ 2 + 4^ 3 + 2^10 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 1 + 7^ 2 + 4^ 5 + 2^ 6 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 2 + 2^ 4 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 3 + 2^11 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 5 + 2^ 3 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 1 + 8^ 4 + 7^ 0 + 4^ 2 + 2^ 5 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 5 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 2 + 2^ 4 + 6^ 0 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 1 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 7 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 0 + 2^11 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 5 + 2^10 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 4 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 2 + 2^ 2 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 5 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 2 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 1 + 2^ 5 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 3 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 1 + 7^ 0 + 4^ 2 + 2^12 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 1 + 7^ 0 + 4^ 6 + 2^ 4 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 0 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 1 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 2 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 5 + 2^11 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 2 + 7^ 0 + 4^ 5 + 2^ 5 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 4 + 2^11 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 5 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 2 + 7^ 4 + 4^ 5 + 2^11 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 4 + 7^ 0 + 4^ 2 + 2^ 3 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 4 + 7^ 0 + 4^ 2 + 2^ 7 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 2 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 3 + 2^ 5 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 3 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 5 + 2^ 5 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 0 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^12 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 0 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 6 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 5 + 2^11 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 0 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 2 + 7^ 1 + 4^ 0 + 2^12 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 2 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 5 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 3 + 7^ 3 + 4^ 6 + 2^ 9 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 0 + 2^ 6 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 4 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 0 + 7^ 3 + 4^ 4 + 2^12 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 0 + 7^ 3 + 4^ 6 + 2^ 8 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 1 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 9 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 1 + 2^11 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 3 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 3 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 5 + 2^ 5 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 0 + 2^ 8 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 5 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 4 + 2^ 0 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 3 + 2^12 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 6 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 1 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 9 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 0 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 1 + 2^ 6 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 3 + 2^ 2 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 2 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 9 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^12 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 0 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 2 + 7^ 3 + 4^ 1 + 2^ 3 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 1 + 2^12 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^12 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 2 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 3 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 0 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 6 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 3 + 7^ 3 + 4^ 2 + 2^11 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 3 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 1 + 2^ 9 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^ 9 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^ 6 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 6 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 3 + 2^ 0 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 0 + 7^ 1 + 4^ 0 + 2^ 5 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 3 + 2^ 8 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 4 + 2^ 6 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 1 + 7^ 0 + 4^ 0 + 2^ 5 + 6^ 3 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 1 + 7^ 0 + 4^ 1 + 2^11 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 1 + 7^ 0 + 4^ 2 + 2^ 4 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 7 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 2 + 7^ 0 + 4^ 3 + 2^ 7 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 2 + 2^ 7 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 2 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 8 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 2 + 7^ 4 + 4^ 3 + 2^ 9 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 2 + 7^ 4 + 4^ 4 + 2^ 0 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 3 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 7 + 6^ 3 + 0^ 1 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^ 7 + 8^ 3 + 7^ 4 + 4^ 3 + 2^ 6 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 9

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^12 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 6 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^12 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 3 + 2^12 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 3 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 6 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 3 + 4^ 2 + 2^11 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 2 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 5 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 0 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 1 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 5 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 0 + 7^ 4 + 4^ 2 + 2^ 4 + 6^ 0 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 7 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 9 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 0 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 0 + 2^11 + 6^ 2 + 0^ 1 + 5^ 5 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 1 + 2^ 6 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 3 + 2^ 2 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 3 + 4^ 5 + 2^10 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 0 + 2^ 5 + 6^ 0 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 4 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 2 + 2^ 2 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 1 + 7^ 4 + 4^ 5 + 2^11 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 0 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 1 + 4^ 0 + 2^12 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 9 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^12 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 5 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 2 + 4^ 6 + 2^ 0 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 3 + 4^ 1 + 2^ 3 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 5 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 3 + 4^ 5 + 2^12 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 3 + 4^ 6 + 2^10 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 2 + 7^ 4 + 4^ 5 + 2^11 + 6^ 1 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 1 + 2^12 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^12 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 2 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 3 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 0 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 5 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 1 + 4^ 6 + 2^ 6 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 3 + 4^ 2 + 2^11 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 3 + 4^ 6 + 2^ 9 + 6^ 0 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 3 + 7^ 4 + 4^ 1 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 0 + 2^ 6 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 1 + 2^ 5 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 1

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 1 + 2^ 9 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 2 + 2^ 7 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 2 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 2 + 9^ 2

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 1 + 4^ 3 + 2^ 9 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^ 0 + 6^ 4 + 0^ 0 + 5^ 3 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^ 1 + 6^ 4 + 0^ 1 + 5^ 3 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 0 + 2^ 6 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 2 + 4^ 3 + 2^ 0 + 6^ 1 + 0^ 1 + 5^ 4 + 9^ 3

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 3 + 2^10 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 4 + 2^ 5 + 6^ 3 + 0^ 0 + 5^ 4 + 9^ 0

387426059= 3^18 + 8^ 4 + 7^ 3 + 4^ 5 + 2^ 6 + 6^ 2 + 0^ 0 + 5^ 1 + 9^ 0

The full results is in attached files 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

***

Simon wrote:

Using the interpretation of 0^0 as an empty product assigning it the value 1:

Q1
20483 = 2^0+0^0+4^7+8^4+3^0
20483 = 2^12+0^0+4^7+8^0+3^0
20483 = 2^14+0^0+4^0+8^4+3^0
20483 = 2^14+0^0+4^6+8^0+3^0

24379 = 2^8+4^6+3^9+7^3+9^0
24379 = 2^9+4^4+3^5+7^5+9^4
24379 = 2^9+4^6+3^9+7^1+9^2
24379 = 2^12+4^4+3^9+7^3+9^0

32987 = 3^1+2^7+9^2+8^5+7^1
32987 = 3^2+2^7+9^2+8^5+7^0
32987 = 3^4+2^3+9^2+8^5+7^2
32987 = 3^4+2^7+9^1+8^5+7^0
32987 = 3^4+2^15+9^2+8^1+7^2

Q2
965284703 = 9^3+6^11+5^11+2^29+8^4+4^12+7^1+0^0+3^8
965284703 = 9^3+6^11+5^11+2^29+8^8+4^6+7^1+0^0+3^8
965284703 = 9^4+6^11+5^11+2^29+8^4+4^12+7^1+0^0+3^6
965284703 = 9^4+6^11+5^11+2^29+8^8+4^6+7^1+0^0+3^6

Q3
23497 = 2^5+3^4+4^2+9^4+7^5
23497 = 2^5+3^8+4^2+9^2+7^5
23497 = 2^6+3^0+4^3+9^4+7^5
23497 = 2^6+3^8+4^3+9^0+7^5
23497 = 2^7+3^4+4^7+9^4+7^3
23497 = 2^7+3^8+4^7+9^2+7^3

Q4
k=101
387456029 = 3^0+8^2+7^4+4^3+5^2+6^3+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^0+8^4+7^8+4^12+5^6+6^11+0^0+2^21+9^2
387456029 = 3^0+8^5+7^4+4^3+5^2+6^3+0^0+2^6+9^9
387456029 = 3^0+8^7+7^8+4^6+5^6+6^11+0^0+2^24+9^2
387456029 = 3^0+8^7+7^8+4^12+5^6+6^11+0^0+2^12+9^2
387456029 = 3^0+8^8+7^8+4^6+5^6+6^11+0^0+2^21+9^2
387456029 = 3^1+8^3+7^5+4^7+5^2+6^4+0^0+2^9+9^9
387456029 = 3^2+8^2+7^4+4^4+5^1+6^2+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^2+8^3+7^4+4^5+5^6+6^5+0^0+2^13+9^9
387456029 = 3^2+8^5+7^2+4^1+5^4+6^2+0^0+2^11+9^9
387456029 = 3^2+8^5+7^4+4^1+5^3+6^3+0^0+2^4+9^9
387456029 = 3^2+8^5+7^4+4^2+5^0+6^3+0^0+2^7+9^9
387456029 = 3^2+8^5+7^4+4^2+5^3+6^3+0^0+2^2+9^9
387456029 = 3^2+8^5+7^4+4^3+5^1+6^2+0^0+2^8+9^9
387456029 = 3^2+8^5+7^4+4^4+5^1+6^2+0^0+2^6+9^9
387456029 = 3^3+8^0+7^4+4^0+5^3+6^3+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^3+8^3+7^5+4^7+5^0+6^4+0^0+2^9+9^9
387456029 = 3^3+8^5+7^0+4^3+5^4+6^1+0^0+2^11+9^9
387456029 = 3^3+8^5+7^2+4^2+5^4+6^1+0^0+2^11+9^9
387456029 = 3^3+8^5+7^4+4^0+5^3+6^3+0^0+2^0+9^9
387456029 = 3^4+8^1+7^4+4^3+5^0+6^3+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^4+8^2+7^4+4^1+5^1+6^3+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^4+8^2+7^4+4^3+5^3+6^2+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^4+8^3+7^0+4^4+5^4+6^4+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^4+8^4+7^8+4^12+5^6+6^11+0^0+2^21+9^0
387456029 = 3^4+8^5+7^0+4^4+5^4+6^4+0^0+2^9+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^1+4^1+5^4+6^1+0^0+2^11+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^3+4^5+5^2+6^4+0^0+2^1+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^4+4^1+5^1+6^3+0^0+2^6+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^4+4^2+5^2+6^3+0^0+2^5+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^4+4^3+5^0+6^3+0^0+2^3+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^4+4^3+5^1+6^3+0^0+2^2+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^4+4^3+5^3+6^2+0^0+2^6+9^9
387456029 = 3^4+8^5+7^4+4^4+5^2+6^1+0^0+2^1+9^9
387456029 = 3^4+8^7+7^8+4^6+5^6+6^11+0^0+2^24+9^0
387456029 = 3^4+8^7+7^8+4^12+5^6+6^11+0^0+2^12+9^0
387456029 = 3^4+8^8+7^8+4^6+5^6+6^11+0^0+2^21+9^0
387456029 = 3^5+8^0+7^4+4^7+5^3+6^0+0^0+2^14+9^9
387456029 = 3^5+8^1+7^3+4^4+5^4+6^4+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^5+8^3+7^5+4^5+5^6+6^4+0^0+2^5+9^9
387456029 = 3^5+8^5+7^1+4^4+5^0+6^3+0^0+2^11+9^9
387456029 = 3^5+8^5+7^3+4^4+5^4+6^4+0^0+2^3+9^9
387456029 = 3^5+8^5+7^4+4^3+5^2+6^1+0^0+2^5+9^9
387456029 = 3^5+8^5+7^4+4^3+5^2+6^2+0^0+2^1+9^9
387456029 = 3^6+8^1+7^2+4^3+5^4+6^4+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^6+8^5+7^2+4^3+5^4+6^4+0^0+2^3+9^9
387456029 = 3^6+8^5+7^2+4^5+5^4+6^3+0^0+2^7+9^9
387456029 = 3^7+8^1+7^1+4^7+5^6+6^4+0^0+2^5+9^9
387456029 = 3^7+8^1+7^3+4^2+5^0+6^3+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^7+8^2+7^3+4^2+5^3+6^2+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^7+8^3+7^0+4^3+5^0+6^1+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^7+8^3+7^1+4^1+5^2+6^2+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^7+8^3+7^2+4^2+5^0+6^1+0^0+2^15+9^9
387456029 = 3^7+8^3+7^5+4^3+5^0+6^5+0^0+2^13+9^9
387456029 = 3^7+8^3+7^5+4^3+5^6+6^3+0^0+2^7+9^9
387456029 = 3^7+8^4+7^5+4^6+5^3+6^2+0^0+2^13+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^0+4^3+5^0+6^1+0^0+2^9+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^1+4^1+5^2+6^2+0^0+2^9+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^2+4^2+5^0+6^1+0^0+2^9+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^3+4^1+5^1+6^3+0^0+2^4+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^3+4^2+5^0+6^3+0^0+2^3+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^3+4^2+5^1+6^3+0^0+2^2+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^3+4^2+5^3+6^2+0^0+2^6+9^9
387456029 = 3^7+8^5+7^3+4^3+5^3+6^2+0^0+2^4+9^9
387456029 = 3^9+8^1+7^0+4^1+5^6+6^3+0^0+2^1+9^9
387456029 = 3^9+8^2+7^3+4^6+5^5+6^2+0^0+2^13+9^9
387456029 = 3^9+8^3+7^3+4^1+5^5+6^5+0^0+2^12+9^9
387456029 = 3^9+8^3+7^3+4^6+5^5+6^5+0^0+2^2+9^9
387456029 = 3^9+8^4+7^3+4^1+5^5+6^5+0^0+2^9+9^9
387456029 = 3^9+8^4+7^3+4^3+5^5+6^2+0^0+2^13+9^9
387456029 = 3^11+8^9+7^1+4^4+5^12+6^3+0^0+2^23+9^6
387456029 = 3^12+8^7+7^4+4^6+5^12+6^8+0^0+2^27+9^7
387456029 = 3^12+8^9+7^4+4^6+5^12+6^8+0^0+2^21+9^7
387456029 = 3^14+8^7+7^4+4^6+5^12+6^8+0^0+2^27+9^6
387456029 = 3^14+8^9+7^4+4^6+5^12+6^8+0^0+2^21+9^6
387456029 = 3^18+8^1+7^2+4^3+5^4+6^4+0^0+2^15+9^3
387456029 = 3^18+8^1+7^4+4^3+5^0+6^3+0^0+2^15+9^2
387456029 = 3^18+8^2+7^4+4^1+5^1+6^3+0^0+2^15+9^2
387456029 = 3^18+8^2+7^4+4^3+5^2+6^3+0^0+2^15+9^0
387456029 = 3^18+8^2+7^4+4^3+5^3+6^2+0^0+2^15+9^2
387456029 = 3^18+8^2+7^4+4^4+5^1+6^2+0^0+2^15+9^1
387456029 = 3^18+8^3+7^0+4^4+5^4+6^4+0^0+2^15+9^2
387456029 = 3^18+8^3+7^4+4^5+5^6+6^5+0^0+2^13+9^1
387456029 = 3^18+8^5+7^0+4^4+5^4+6^4+0^0+2^9+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^1+4^1+5^4+6^1+0^0+2^11+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^2+4^1+5^4+6^2+0^0+2^11+9^1
387456029 = 3^18+8^5+7^2+4^3+5^4+6^4+0^0+2^3+9^3
387456029 = 3^18+8^5+7^2+4^5+5^4+6^3+0^0+2^7+9^3
387456029 = 3^18+8^5+7^3+4^5+5^2+6^4+0^0+2^1+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^1+5^1+6^3+0^0+2^6+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^1+5^3+6^3+0^0+2^4+9^1
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^2+5^0+6^3+0^0+2^7+9^1
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^2+5^2+6^3+0^0+2^5+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^2+5^3+6^3+0^0+2^2+9^1
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^3+5^0+6^3+0^0+2^3+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^3+5^1+6^2+0^0+2^8+9^1
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^3+5^1+6^3+0^0+2^2+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^3+5^2+6^3+0^0+2^6+9^0
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^3+5^3+6^2+0^0+2^6+9^2
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^4+5^1+6^2+0^0+2^6+9^1
387456029 = 3^18+8^5+7^4+4^4+5^2+6^1+0^0+2^1+9^2

***

Emmanuel wrote:

Q1
Here are the first ten primes like 23497 (I list the exponents of the digits) :
23497 : {5, 4, 2, 4, 5}, {5, 8, 2, 2, 5}, {7, 4, 7, 4, 3}, {7, 8, 7, 2, 3}
92387 : {1, 9, 10, 5, 2}, {1, 15, 10, 3, 2}, {5, 9, 2, 5, 2}, {5, 15, 2, 3, 2}
132469 : {1, 1, 17, 2, 4, 2}, {1, 3, 17, 3, 4, 1}, {1, 7, 13, 7, 6, 5}, {1, 9, 9, 8, 6, 2}
235489 : {1, 2, 7, 8, 5, 5}, {1, 10, 7, 8, 5, 1}, {3, 1, 7, 8, 5, 5}, {15, 1, 7, 8, 1, 5}
249763 : {17, 2, 2, 6, 3, 6}, {17, 2, 3, 6, 3, 4}, {17, 3, 3, 6, 1, 5}, {17, 5, 1, 6, 1, 1}
264793 : {1, 2, 9, 3, 2, 7}, {5, 1, 9, 3, 2, 7}, {7, 2, 9, 4, 2, 1}, {11, 1, 9, 3, 1, 5}
269473 : {7, 3, 2, 9, 3, 8}, {7, 3, 4, 9, 3, 4}, {9, 1, 4, 9, 1, 5}, {17, 2, 1, 5, 6, 9}
283541 : {6, 6, 9, 4, 5, 1}, {10, 2, 9, 4, 9, 1}, {10, 6, 9, 4, 3, 1}, {18, 2, 9, 4, 5, 1}
286753 : {4, 6, 1, 4, 6, 8}, {10, 4, 7, 3, 4, 6}, {14, 6, 4, 3, 2, 8}, {14, 6, 5, 3, 2, 4}
289763 : {7, 1, 3, 4, 7, 8}, {7, 1, 4, 4, 7, 6}, {15, 5, 2, 3, 6, 11}, {17, 5, 5, 2, 5, 10}
There are many more, but I can't determine them all.

The time needed to find representations for big primes increases.

Q3
Here, I list the smallest prime p with k representations :

k p
1 2
2 2843
3 24683
4 23497
5 248753
6 284539
7 285697
8 348259
9 5832647
10 284573
11 2485367
12 284357
I could not find a prime with 13 representations (but I did not made an exhausting search)

For every p I list the exponents :
2 : {1}
2843 : {7, 3, 2, 7}, {11, 3, 4, 3}
24683 : {1, 7, 5, 3, 2}, {3, 7, 5, 3, 1}, {9, 7, 5, 1, 1}
23497 : {5, 4, 2, 4, 5}, {5, 8, 2, 2, 5}, {7, 4, 7, 4, 3}, {7, 8, 7, 2, 3}
248753 : {5, 8, 3, 4, 5, 11}, {9, 2, 5, 6, 7, 9}, {15, 2, 3, 6, 7, 9}, {15, 8, 5, 6, 1, 3}, {17, 2, 1, 6, 1, 1}
284539 : {6, 2, 9, 6, 4, 4}, {6, 2, 9, 6, 8, 2}, {6, 6, 3, 6, 4, 4}, {6, 6, 3, 6, 8, 2}, {18, 2, 3, 6, 4, 4}, {18, 2, 3, 6, 8, 2}
285697 : {6, 6, 6, 4, 4, 1}, {6, 6, 6, 5, 2, 1}, {10, 4, 4, 7, 1, 1}, {12, 6, 4, 4, 3, 5}, {18, 2, 6, 4, 4, 1}, {18, 2, 6, 5, 2, 1}, {18, 4, 4, 4, 3, 5}
348259 : {8, 6, 6, 14, 2, 5}, {8, 7, 4, 18, 2, 5}, {8, 7, 6, 12, 2, 5}, {8, 9, 4, 14, 2, 5}, {10, 6, 6, 14, 2, 4}, {10, 7, 4, 18, 2, 4}, {10, 7, 6, 12, 2, 4}, {10, 9, 4, 14, 2, 4}
5832647 : {1, 1, 5, 11, 1, 8, 8}, {3, 1, 10, 13, 3, 4, 8}, {3, 3, 10, 7, 5, 4, 8}, {4, 2, 14, 6, 1, 10, 3}, {4, 2, 14, 20, 1, 3, 3}, {4, 4, 4, 2, 6, 7, 8}, {4, 4, 4, 14, 6, 1, 8}, {5, 1, 13, 15, 5, 11, 3}, {5, 5, 13, 3, 5, 11, 3}
284573 : {6, 4, 9, 6, 4, 5}, {6, 6, 4, 2, 4, 9}, {6, 6, 6, 6, 4, 5}, {8, 2, 9, 2, 4, 9}, {8, 6, 3, 2, 4, 9}, {12, 2, 9, 6, 4, 5}, {12, 6, 3, 6, 4, 5}, {18, 2, 4, 2, 4, 9}, {18, 2, 6, 6, 4, 5}, {18, 4, 3, 6, 4, 5}
2485367 : {1, 3, 3, 9, 12, 3, 1}, {3, 2, 3, 9, 12, 3, 2}, {5, 8, 3, 3, 13, 4, 7}, {9, 2, 1, 9, 12, 3, 2}, {9, 9, 7, 3, 2, 5, 6}, {9, 9, 7, 7, 6, 6, 2}, {13, 9, 7, 1, 2, 3, 6}, {17, 5, 7, 7, 10, 4, 6}, {19, 6, 3, 9, 6, 3, 4}, {21, 9, 3, 3, 2, 5, 6}, {21, 9, 3, 7, 6, 6, 2}
284357 : {2, 6, 2, 8, 6, 1}, {4, 6, 1, 8, 6, 1}, {6, 4, 9, 3, 6, 4}, {6, 6, 6, 3, 6, 4}, {8, 4, 9, 7, 6, 2}, {8, 6, 6, 7, 6, 2}, {12, 2, 9, 3, 6, 4}, {12, 6, 3, 3, 6, 4}, {12, 6, 4, 7, 6, 2}, {18, 2, 6, 3, 6, 4}, {18, 4, 3, 3, 6, 4}, {18, 4, 4, 7, 6, 2}

***

Records | Conjectures | Problems | Puzzles