Problems & Puzzles: Puzzles

Puzzle 1168  Primes for the Baxter-Hickerson function G. L. Honaker, Jr. sent the following challenging puzzle. The Baxter-Hickerson function f(k) = (2*10^(5*k) - 10^(4*k) + 2*10^(3*k) + 10^(2*k) + 10^k + 1)/3 has the property that its cubes lack of zeros. On top of that, it has been found that f(k) is prime for k=0, 1, 7, 133. The primes are: 2 64037 66666663333334000000033333336666667 (35 digits) and 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 663333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 334000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000033 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333333 333336 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666666 666667 (665 digits). The next term is > 20000 (found using pfgw64). - Patrick De Geest, Jul 22 2012 Q1. Can you try to get the 5th k integer such that f(k) is prime? Q2. Can you try to get another function g(k) alike the previous one in the sense of producing an infinite series of cubes zero-free?  References: https://oeis.org/A051832 https://mathworld.wolfram.com/Baxter-HickersonFunction.html

---

From March 23 to 29, 2024 contributions came from Giorgos Kalogeropoulos, Michael Branicky

***

Giorgos wrote:

Q2: Here are some other functions with the same property that work for all k>=0:

 

 g1(k) = (2*10^(5*k) - 10^(4*k) +2*10^(3*k) -2*10^(2*k) + 4*10^k +1)/3
 

g1(k) is prime for k=0, 66, 543...

 

g2(k) = (2*10^(5*k) - 10^(4*k) +2*10^(3*k) +10^(2*k) -2*10^k +4)/3
 

g2(0)=2 and for k>0 g2(k) is even

 

g3(k) = (2*10^(5*k) - 10^(4*k) +2*10^(3*k) +10^(2*k) +10^k -2)/3
 

g3(0)=1 and for k>0 g3(k) is even

 

g4(k) = (2*10^(5*k) - 10^(4*k) +2*10^(3*k) +4*10^(2*k) +10^k -2)/3
 

g4(0)=2 and for k>0 g4(k) is even
 

 

g5(k) = (2*10^(5*k) +5*10^(4*k) -4*10^(3*k) +10^(2*k) +4*10^k +1)/3
 

g5(0)=3 and for k>0 g5(k) is divisible by 3 

 

g6(k) = (2*10^(5*k) +5*10^(4*k) -4*10^(3*k) +4*10^(2*k) +4*10^k -5)/3
 

g6(0)=2 and for k>0 g6(k) is divisible by 5

 

g7(k) = (2*10^(5*k) +5*10^(4*k) +210^(3*k) +4*10^(2*k) +4*10^k -5)/3
 

g7(0)=4 and for k>0 g7(k) is divisible by 5

 

g8(k) = (2*10^(5*k) +5*10^(4*k) +210^(3*k) +4*10^(2*k) +4*10^k -5)/3
 

g8(0)=1 and for k>0 g8(k) is divisible by 2

...

We can find these functions from the general 

f(n) = a*10^(5*n) + b*10^(4*n) + c*10^(3*n) + d*10^(2*n) + e*10^n + f

by trying different combinations of coefficients a,b,c,d,,e,f

 

Also, in your question you have a big prime with 665 digits which belongs to A051750: "Primes whose cubes lack zeros".

Using my  g1(k) = (2*10^(5*k) - 10^(4*k) +2*10^(3*k) -2*10^(2*k) + 4*10^k +1)/3 we can find a bigger prime with the same property

For k=543 we get a prime with 2715 digits which has a zeroless cube and is itself zeroless:

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333399999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999933333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333346666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
666666666666667
 

 

If we want to get a bigger prime with this property we can use 

h(k)=(2*10^(5*k) - 10^(4*k) + 2*10^(3*k) - 2*10^(2*k) - 5*10^k + 1)/3 

h(k) gives h(0) = -1 for k=0 (this is why it is not listed in my variations) but works for any k>0 and produce zeroless cubes.

For k=855, h(855) is a titanic prime of 4275 digits which is zeroless and whose cube is zeroless

 

66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666...6666666666667

***

Michael wrote:

Q1. I searched and found no prime f(k) for 20000 <= k <= 21000.

***