Problems & Puzzles: Puzzles

Puzzle 44.- “Enoch Haga Puzzle about Consecutive Primes”

A. Find sets of k consecutive odd primes such that:

P₁ + P_k + 1 = prime
P₂ + P_k-1 + 1 = prime
P₃ + P_k-2 + 1 = prime
etc. 

Observe that when k is odd the central prime is simply ignored.

Just to offer an interesting point of start, I have calculated the first elementary examples:

k: primes

2 : 5  7
3 : 3  5  7
4 : 5  7  11  13
5 : 3  5  7  11  13
6 : 7  11  13  17  19  23
7 : 11  13  17  19  23  29  31
8 : 17  19  23  29  31  37  41  43
9 : 19  23  29  31  37  41  43  47  53
10 : 13  17  19  23  29  31  37  41  43  47
11 : 557  563  569  571  577  587  593  599  601  607  613
12 : 137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193
13 : 10009  10037  10039  10061  10067  10069  10079  10091  10093  10099  1010 3  10111  10133
14 : 373  379  383  389  397  401  409  419  421  431  433  439  443  449
15 : 10007  10009  10037  10039  10061  10067  10069  10079  10091  10093  10099  10103  10111  10133  10139
16 : 823  827  829  839  853  857  859  863  877  881  883  887  907  911  919  929
17 : ???????????
18 : 821  823  827  829  839  853  857  859  863  877  881  883  887  907  911  919  929  937
19 : ???????????
20 : 811  821  823  827  829  839  853  857  859  863  877  881  883  887  907  911  919  929  937  941

***

B. Now,  let’s add the condition that:

P₁ + P_k + 1 = P₂ + P_k-1 + 1 = P₃ + P_k-2 + 1 = … the same prime

In this case I have obtained solutions for k=2 to 13:

k: primes (‘the same prime’)

2 : 5  7 (the same prime = 13)
3 : 3  5  7 (11)
4 : 5  7  11  13 (19)
5 : 3  5  7  11  13 (17)
6 : 7  11  13  17  19  23 (31)
7 : 61  67  71  73  79  83  89 (151)
8 : 17  19  23  29  31  37  41  43 (61)
9 : 563  569  571  577  587  593  599  601  607 (1171)
10 : 13  17  19  23  29  31  37  41  43  47 (61)
11 : 557  563  569  571  577  587  593  599  601  607  613 (1171)
12 : 137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193 (331)
13 : 93911  93913  93923  93937  93941  93949  93967  93971  93979  93983  9399 7  94007  94009 (187921)
14 and more: ?????

***

Question to A : Find a set for k=17, 19, 21, and so on….

Question to B: Find an example for k=>14

Solution

Felice Russo (7/03/99) has found the least solution to k=17, 19 & 21 for Question A

For k=17 the consecutive primes are: 210097 210101 210109 210113 210127
210131 210139 210143 210157 210169 210173 210187 210191 210193 210209 210229 210233
For k=19 the consecutive primes are: 210071 210097 210101 210109 210113
210127 210131 210139 210143 210157 210169 210173 210187 210191 210193 210209 210229 210233 210241
For k=21 the consecutive primes are: 2614159 2614163 2614169 2614177
2614181 2614193 2614211 2614219 2614223 2614237 2614279 2614301 2614303 2614307 2614327 2614333 2614351 2614361 2614363 2614369 2614373

***

Felice Russo (16/04/99) wrote:
"Carlos,  about puzzle 44  I made a search for k=22 (part A) and for k=14 (part B). I didn't find any solution up to p=14.557.471 and p=14.469.817 respectively"

***

Sudipta Das has found (12/12/2002) more solutions to Question A and the first asked solutions to Question B:

For Question A:

For k=22 : 16697669  16697683  16697687  16697699  16697711  16697729  16697741  16697749  16697771  16697773  16697797  16697843  16697867  16697869  16697873  16697899  16697909  16697911  16697929  16697951  16697969  16697981 ( Sudipta Das - 6/12/02 )

For k=23 : 2614133  2614159  2614163  2614169  2614177  2614181  2614193  2614211  2614219  2614223  2614237  2614279  2614301  2614303  2614307  2614327  2614333  2614351  2614361  2614363  2614369  2614373  2614393 ( Sudipta Das - 6/12/02 )

For Question B: