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 Puzzle 758. Associative magic cubes of prime numbers Natalia Makarova sent the following puzzle. Definition Magic cube is called associative (central-symmetric), if the sum of any two elements arranged symmetrically about the center of the cube is equal to the same number, called constant associativity of the cube (K). We will consider associative cubes of prime numbers. n=3, K=2206, S=3309 (minimal, author Akio Suzuki, 1977) 2153 929 227 839 947 1523 317 1433 1559 . . . . . . . . . . . . . 509 1607 1193 1787 1103 419 1013 599 1697 . . . . . . . . . . . . . 647 773 1889 683 1259 1367 1979 1277 53 *** n=4, K=630, S=1260 (minimal, Natalia Makarova) 23 521 433 283 373 29 457 401 587 139 11 523 277 571 359 53 . . . . . . . . . . . . . . . . 263 379 557 61 613 13 131 503 317 449 31 463 67 419 541 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 397 89 211 563 167 599 181 313 127 499 617 17 569 73 251 367 . . . . . . . . . . . . . . . . 577 271 59 353 107 619 491 43 229 173 601 257 347 197 109 607 *** n=5, K=21806, S=54515 (not minimal, Natalia Makarova) 14347 21163 9349 4099 5557 3793 9883 20899 9463 10477 6379 15739 12919 10369 9109 13627 3673 3019 21397 12799 16369 4057 8329 9187 16573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5113 11149 9397 19087 9769 17443 4603 283 18307 13879 16183 3847 17359 1483 15643 14563 13933 9043 2539 14437 1213 20983 18433 13099 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8803 877 18919 12757 13159 16903 20353 1783 739 14737 13093 3169 10903 18637 8713 7069 21067 20023 1453 4903 8647 9049 2887 20929 13003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21019 8707 3373 823 20593 7369 19267 12763 7873 7243 6163 20323 4447 17959 5623 7927 3499 21523 17203 4363 12037 2719 12409 10657 16693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5233 12619 13477 17749 5437 9007 409 18787 18133 8179 12697 11437 8887 6067 15427 11329 12343 907 11923 18013 16249 17707 12457 643 7459 *** n=6, K= 6600, S=19800 (not minimal, Natalia Makarova) 883 3697 5591 4243 233 5153 1117 5923 4457 1031 4799 2473 5387 977 4289 2273 5507 1367 4447 2861 179 6121 743 5449 6269 5323 863 1549 2777 3019 1697 1019 4421 4583 5741 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783 6373 239 47 6007 5351 19 53 3643 4159 5477 6449 31 131 1667 5413 6037 6521 6211 3673 5113 2087 1523 1193 5227 3371 4349 6091 733 29 6529 6199 4789 2003 23 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 211 3299 5861 5981 4051 1949 127 3463 3209 4561 6491 3691 1979 5419 1097 1327 6287 3517 6337 3491 3167 821 2467 3917 6143 3187 3923 2593 37 6329 5003 941 2543 4517 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6133 2083 4057 5659 1597 271 6563 4007 2677 3413 457 2683 4133 5779 3433 3109 263 3083 313 5273 5503 1181 4621 2909 109 2039 3391 3137 6473 4651 2549 619 739 3301 6389 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6343 6577 4597 1811 401 71 6571 5867 509 2251 3229 1373 5407 5077 4513 1487 2927 389 79 563 1187 4933 6469 6569 151 1123 2441 2957 6547 6581 1249 593 6553 6361 227 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4261 859 2017 2179 5581 4903 3581 3823 5051 5737 1277 331 1151 5857 479 6421 3739 2153 5233 1093 4327 2311 5623 1213 4127 1801 5569 2143 677 5483 1447 6367 2357 1009 2903 5717 *** See http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/ Q1. Find prime associative magic cubes of orders 5, 6 with smallest magic constant. Q2. Find prime associative magic cubes of order n> 6.

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