Problems & Puzzles: Puzzles

 Puzzle 666 Columns = Rows Recently I started playing with the following square objects, of which I got without too much effort (because I used an elemental code) the following examples: Example1: 1013 0191 1933 3137 where -as you can immediately see: a) each row(i) is equal to the column(i) b) the sum of the first n-1 rows is equal to the row(n) c) less evident, each row (and consequently each column) is a prime number Here is a larger one. Example 2: 111227 100003 106591 205019 209159 731999 Q. Send your largest example.

Contributions came from Giovanni Resta, Emmanuel Vantieghem, Hakan Summakoglu & Jan van Delden.

BTW the 70x70 solution by Jan is simply astonishing! You must see it below.

***

Giovanni wrote:

My largest example for puzzle 666 is 10x10:

1000000103
0523000001
0271000001
0312400001
0004420001
0000280001
0000002801
1000008403
0000000067
3111111379

***

Emmanuel wrote:

This is my largest example 8cx8 in which no prime starts with a zero :

1 1 1 1 1 1 1 9
1 1 3 1 1 9 9 9
1 3 8 9 7 9 9 9
1 1 9 8 1 8 9 9
1 1 7 1 6 1 8 9
1 9 9 8 1 8 8 9
1 9 9 9 8 8 7 7
9 9 9 9 9 9 7 1

I found 10x10 solutions, but some primes start with a zero (which is inevitable) :

0 0 0 0 1 1 1 1 1 9
0 0 3 1 3 9 9 9 9 9
0 3 7 9 9 9 9 9 9 9
0 1 9 8 2 8 9 9 9 9
1 3 9 2 0 2 9 9 9 9
1 9 9 8 2 2 8 5 9 9
1 9 9 9 9 8 9 0 9 7
1 9 9 9 9 5 0 1 4 3
1 9 9 9 9 9 9 4 3 9
9 9 9 9 9 9 7 3 9 3

I just found a more elegant 10x10 solution.  Only two primes have a zero at the beginning :

0 0 1 1 1 1 1 1 1 9
0 9 2 9 1 0 0 0 0 1
1 2 3 3 0 0 0 0 0 1
1 9 3 6 9 0 0 0 0 1
1 1 0 9 8 8 3 0 0 1
1 0 0 0 8 2 8 0 0 1
1 0 0 0 3 8 8 1 1 3
1 0 0 0 0 0 1 6 2 1
1 0 0 0 0 0 1 2 7 3
9 1 1 1 1 1 3 1 3 1

It is not possible to find an example with only one prime less than  10^9 (easy to prove).

***

Hakan wrote:

I tested for leading zeros not allowed: Largest example is 8x8 square. Largest sum example for 8x8 square:99999971

11111119
18946009
19018009
14110009
16805539
10005389
10003897
99999971

***

Jan wrote:

Demanding no leading zeroes give solutions for n=4,6,8, examples:

1619
6163
1609
9391

112129
118361
289189
131221
268211
919111

11111119
11157479
11888299
15873049
17830009
14200009
17940007
99999971

A solution for n=10 with the lowest number of primes with at most 1 leading zero:

2100111119
1458100009
0503000009
0835120009
1101401009
1002018509
1000183837
1000058893
1000003999
9999997393

A solution for n=70 with primes with at most 1 leading zero (and “other” digits>0):

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009
0744111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0461891111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0411272111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0182997111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0197997161111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0112779671111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111116577111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111167763911111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111735831111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111198866111111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111113696411111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111662211111111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111142635911111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111323811111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111538551111111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111985771211111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111115752911111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111122831111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111298828311111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111113238111111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111889121111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111311355111111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111112539261111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111597791111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111127791111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111169949111111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111196571111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111115181111111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111117885911111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111152991111111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111199872311111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111119742521111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111225612111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111356942111111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111121463211111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111112239635111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111126135111111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111113357811111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111115578743111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111187715111111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111114133611111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111113539244111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111162117111111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111114159621111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111114797282111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111162675111111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111128783921111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111112532961111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111199929111111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111126211611111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111913653111111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111166969211111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111115648311111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111113987291111111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111232283811111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111119849711111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111392922111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111879581111111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111112874441111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111112141551111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111145395111119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111145997231119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111577181119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111121931119
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111138396919
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111168919
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111199691
0111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111983
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999137

If one allows more leading zeroes solutions for large n can easily be found.

***

C. Rivera wrote (Dec 15, 2012):

Dear Jan,

Just to let you know that I have verified your solution:

1) The digits of every one of the 70 row sums equal than the digits of the corresponding column.
2) Every row is a prime number.
3) The first 69 rows sum up to the row 70.

So, your solution should be OK.

***

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